ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decsucc Unicode version

Theorem decsucc 9245
Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsucc.1  |-  A  e. 
NN0
decsucc.2  |-  ( A  +  1 )  =  B
decsucc.3  |-  N  = ; A
9
Assertion
Ref Expression
decsucc  |-  ( N  +  1 )  = ; B
0

Proof of Theorem decsucc
StepHypRef Expression
1 9nn0 9024 . . 3  |-  9  e.  NN0
2 9p1e10 9207 . . . 4  |-  ( 9  +  1 )  = ; 1
0
32eqcomi 2144 . . 3  |- ; 1 0  =  ( 9  +  1 )
4 decsucc.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
5 decsucc.2 . . 3  |-  ( A  +  1 )  =  B
6 decsucc.3 . . . 4  |-  N  = ; A
9
7 dfdec10 9208 . . . 4  |- ; A 9  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  9 )
86, 7eqtri 2161 . . 3  |-  N  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  9 )
91, 3, 4, 5, 8numsucc 9244 . 2  |-  ( N  +  1 )  =  ( (; 1 0  x.  B
)  +  0 )
10 dfdec10 9208 . 2  |- ; B 0  =  ( (; 1 0  x.  B
)  +  0 )
119, 10eqtr4i 2164 1  |-  ( N  +  1 )  = ; B
0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1332    e. wcel 1481  (class class class)co 5781   0cc0 7643   1c1 7644    + caddc 7646    x. cmul 7648   9c9 8801   NN0cn0 9000  ;cdc 9205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sub 7958  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-5 8805  df-6 8806  df-7 8807  df-8 8808  df-9 8809  df-n0 9001  df-dec 9206
This theorem is referenced by:  sq10e99m1  10490
  Copyright terms: Public domain W3C validator