Theorem decsucc 9397

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsucc.1	|- A e. NN0
decsucc.2	|- ( A + 1 ) = B
decsucc.3	|- N = ; A 9

Assertion

Ref	Expression
decsucc	|- ( N + 1 ) = ; B 0

Proof of Theorem decsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 9173	. . 3 |- 9 e. NN0
2		9p1e10 9359	. . . 4 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
3	2	eqcomi 2179	. . 3 |- ; 1 0 = ( 9 + 1 )
4		decsucc.1	. . 3 |- A e. NN0
5		decsucc.2	. . 3 |- ( A + 1 ) = B
6		decsucc.3	. . . 4 |- N = ; A 9
7		dfdec10 9360	. . . 4 |- ; A 9 = ( (; 1 0 x. A ) + 9 )
8	6, 7	eqtri 2196	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + 9 )
9	1, 3, 4, 5, 8	numsucc 9396	. 2 |- ( N + 1 ) = ( (; 1 0 x. B ) + 0 )
10		dfdec10 9360	. 2 |- ; B 0 = ( (; 1 0 x. B ) + 0 )
11	9, 10	eqtr4i 2199	1 |- ( N + 1 ) = ; B 0

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2146  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   x. cmul 7791   9c9 8950   NN0cn0 9149  ;cdc 9357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-sub 8104  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-9 8958  df-n0 9150  df-dec 9358

This theorem is referenced by:  sq10e99m1  10661