Theorem decsucc 9618

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsucc.1	|- A e. NN0
decsucc.2	|- ( A + 1 ) = B
decsucc.3	|- N = ; A 9

Assertion

Ref	Expression
decsucc	|- ( N + 1 ) = ; B 0

Proof of Theorem decsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 9393	. . 3 |- 9 e. NN0
2		9p1e10 9580	. . . 4 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
3	2	eqcomi 2233	. . 3 |- ; 1 0 = ( 9 + 1 )
4		decsucc.1	. . 3 |- A e. NN0
5		decsucc.2	. . 3 |- ( A + 1 ) = B
6		decsucc.3	. . . 4 |- N = ; A 9
7		dfdec10 9581	. . . 4 |- ; A 9 = ( (; 1 0 x. A ) + 9 )
8	6, 7	eqtri 2250	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + 9 )
9	1, 3, 4, 5, 8	numsucc 9617	. 2 |- ( N + 1 ) = ( (; 1 0 x. B ) + 0 )
10		dfdec10 9581	. 2 |- ; B 0 = ( (; 1 0 x. B ) + 0 )
11	9, 10	eqtr4i 2253	1 |- ( N + 1 ) = ; B 0

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   9c9 9168   NN0cn0 9369  ;cdc 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-dec 9579

This theorem is referenced by:  sq10e99m1  10935