ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decsucc Unicode version

Theorem decsucc 8852
Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsucc.1  |-  A  e. 
NN0
decsucc.2  |-  ( A  +  1 )  =  B
decsucc.3  |-  N  = ; A
9
Assertion
Ref Expression
decsucc  |-  ( N  +  1 )  = ; B
0

Proof of Theorem decsucc
StepHypRef Expression
1 9nn0 8633 . . 3  |-  9  e.  NN0
2 9p1e10 8814 . . . 4  |-  ( 9  +  1 )  = ; 1
0
32eqcomi 2089 . . 3  |- ; 1 0  =  ( 9  +  1 )
4 decsucc.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
5 decsucc.2 . . 3  |-  ( A  +  1 )  =  B
6 decsucc.3 . . . 4  |-  N  = ; A
9
7 dfdec10 8815 . . . 4  |- ; A 9  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  9 )
86, 7eqtri 2105 . . 3  |-  N  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  9 )
91, 3, 4, 5, 8numsucc 8851 . 2  |-  ( N  +  1 )  =  ( (; 1 0  x.  B
)  +  0 )
10 dfdec10 8815 . 2  |- ; B 0  =  ( (; 1 0  x.  B
)  +  0 )
119, 10eqtr4i 2108 1  |-  ( N  +  1 )  = ; B
0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1287    e. wcel 1436  (class class class)co 5615   0cc0 7297   1c1 7298    + caddc 7300    x. cmul 7302   9c9 8417   NN0cn0 8609  ;cdc 8812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-sub 7602  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-5 8422  df-6 8423  df-7 8424  df-8 8425  df-9 8426  df-n0 8610  df-dec 8813
This theorem is referenced by:  sq10e99m1  10022
  Copyright terms: Public domain W3C validator