Theorem decsucc 9695

Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsucc.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decsucc.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
decsucc.3	⊢ 𝑁 = ;𝐴9

Assertion

Ref	Expression
decsucc	⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐵0

Proof of Theorem decsucc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 9468	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		9p1e10 9657	. . . 4 ⊢ (9 + 1) = ;10
3	2	eqcomi 2235	. . 3 ⊢ ;10 = (9 + 1)
4		decsucc.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5		decsucc.2	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
6		decsucc.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴9
7		dfdec10 9658	. . . 4 ⊢ ;𝐴9 = ((;10 · 𝐴) + 9)
8	6, 7	eqtri 2252	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 9)
9	1, 3, 4, 5, 8	numsucc 9694	. 2 ⊢ (𝑁 + 1) = ((;10 · 𝐵) + 0)
10		dfdec10 9658	. 2 ⊢ ;𝐵0 = ((;10 · 𝐵) + 0)
11	9, 10	eqtr4i 2255	1 ⊢ (𝑁 + 1) = ;𝐵0

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080  9c9 9243  ℕ₀cn0 9444  ;cdc 9655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-dec 9656

This theorem is referenced by:  sq10e99m1  11021