ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decsucc GIF version

Theorem decsucc 9173
Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsucc.1 𝐴 ∈ ℕ0
decsucc.2 (𝐴 + 1) = 𝐵
decsucc.3 𝑁 = 𝐴9
Assertion
Ref Expression
decsucc (𝑁 + 1) = 𝐵0

Proof of Theorem decsucc
StepHypRef Expression
1 9nn0 8952 . . 3 9 ∈ ℕ0
2 9p1e10 9135 . . . 4 (9 + 1) = 10
32eqcomi 2119 . . 3 10 = (9 + 1)
4 decsucc.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
5 decsucc.2 . . 3 (𝐴 + 1) = 𝐵
6 decsucc.3 . . . 4 𝑁 = 𝐴9
7 dfdec10 9136 . . . 4 𝐴9 = ((10 · 𝐴) + 9)
86, 7eqtri 2136 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 9)
91, 3, 4, 5, 8numsucc 9172 . 2 (𝑁 + 1) = ((10 · 𝐵) + 0)
10 dfdec10 9136 . 2 𝐵0 = ((10 · 𝐵) + 0)
119, 10eqtr4i 2139 1 (𝑁 + 1) = 𝐵0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1314  wcel 1463  (class class class)co 5740  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587   · cmul 7589  9c9 8735  0cn0 8928  cdc 9133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-sub 7899  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-5 8739  df-6 8740  df-7 8741  df-8 8742  df-9 8743  df-n0 8929  df-dec 9134
This theorem is referenced by:  sq10e99m1  10400
  Copyright terms: Public domain W3C validator