ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decsucc GIF version

Theorem decsucc 9190
Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsucc.1 𝐴 ∈ ℕ0
decsucc.2 (𝐴 + 1) = 𝐵
decsucc.3 𝑁 = 𝐴9
Assertion
Ref Expression
decsucc (𝑁 + 1) = 𝐵0

Proof of Theorem decsucc
StepHypRef Expression
1 9nn0 8969 . . 3 9 ∈ ℕ0
2 9p1e10 9152 . . . 4 (9 + 1) = 10
32eqcomi 2121 . . 3 10 = (9 + 1)
4 decsucc.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
5 decsucc.2 . . 3 (𝐴 + 1) = 𝐵
6 decsucc.3 . . . 4 𝑁 = 𝐴9
7 dfdec10 9153 . . . 4 𝐴9 = ((10 · 𝐴) + 9)
86, 7eqtri 2138 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 9)
91, 3, 4, 5, 8numsucc 9189 . 2 (𝑁 + 1) = ((10 · 𝐵) + 0)
10 dfdec10 9153 . 2 𝐵0 = ((10 · 𝐵) + 0)
119, 10eqtr4i 2141 1 (𝑁 + 1) = 𝐵0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1316  wcel 1465  (class class class)co 5742  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593  9c9 8746  0cn0 8945  cdc 9150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-9 8754  df-n0 8946  df-dec 9151
This theorem is referenced by:  sq10e99m1  10428
  Copyright terms: Public domain W3C validator