Theorem domfiexmid 6844

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4109	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		snfig 6780	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
4		ssrab2 3227	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}
5		ssdomg 6744	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Fin → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅} → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
8	7	gen2 1438	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
9		p0ex 4167	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
10		eleq1 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {∅} ∈ Fin))
11		breq2 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ {∅}))
12	10, 11	anbi12d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {∅} → ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅})))
13	12	imbi1d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
14	13	albidv 1812	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {∅} → (∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
15	9, 14	spcv 2820	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin))
16	8, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)
17	9	rabex 4126	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ V
18		breq1 3985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ≼ {∅} ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
19	18	anbi2d 460	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅})))
20		eleq1 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ∈ Fin ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
21	19, 20	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → ((({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)))
22	17, 21	spcv 2820	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) → (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
23	16, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)
24	3, 6, 23	mp2an 423	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
25	24	ssfilem 6841	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  ∀wal 1341   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {crab 2448  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  {csn 3576   class class class wbr 3982   ≼ cdom 6705  Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709

This theorem is referenced by: (None)