Theorem domfiexmid 6990

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4179	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		snfig 6920	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
4		ssrab2 3282	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}
5		ssdomg 6883	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Fin → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅} → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
8	7	gen2 1474	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
9		p0ex 4240	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
10		eleq1 2269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {∅} ∈ Fin))
11		breq2 4055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ {∅}))
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {∅} → ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅})))
13	12	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
14	13	albidv 1848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {∅} → (∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
15	9, 14	spcv 2871	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin))
16	8, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)
17	9	rabex 4196	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ V
18		breq1 4054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ≼ {∅} ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
19	18	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅})))
20		eleq1 2269	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ∈ Fin ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → ((({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)))
22	17, 21	spcv 2871	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) → (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
23	16, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)
24	3, 6, 23	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
25	24	ssfilem 6987	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  ∀wal 1371   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  {csn 3638   class class class wbr 4051   ≼ cdom 6839  Fincfn 6840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843

This theorem is referenced by: (None)