Theorem domfiexmid 6939

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4160	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		snfig 6873	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
4		ssrab2 3268	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}
5		ssdomg 6837	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Fin → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅} → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
8	7	gen2 1464	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
9		p0ex 4221	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
10		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {∅} ∈ Fin))
11		breq2 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ {∅}))
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {∅} → ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅})))
13	12	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
14	13	albidv 1838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {∅} → (∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
15	9, 14	spcv 2858	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin))
16	8, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)
17	9	rabex 4177	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ V
18		breq1 4036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ≼ {∅} ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
19	18	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅})))
20		eleq1 2259	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ∈ Fin ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → ((({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)))
22	17, 21	spcv 2858	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) → (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
23	16, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)
24	3, 6, 23	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
25	24	ssfilem 6936	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450  {csn 3622   class class class wbr 4033   ≼ cdom 6798  Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802

This theorem is referenced by: (None)