Theorem domfiexmid 6880

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4132	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		snfig 6816	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
4		ssrab2 3242	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}
5		ssdomg 6780	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Fin → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅} → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
8	7	gen2 1450	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
9		p0ex 4190	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
10		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {∅} ∈ Fin))
11		breq2 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ {∅}))
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {∅} → ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅})))
13	12	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
14	13	albidv 1824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {∅} → (∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
15	9, 14	spcv 2833	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin))
16	8, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)
17	9	rabex 4149	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ V
18		breq1 4008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ≼ {∅} ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
19	18	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅})))
20		eleq1 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ∈ Fin ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → ((({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)))
22	17, 21	spcv 2833	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) → (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
23	16, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)
24	3, 6, 23	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
25	24	ssfilem 6877	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459  Vcvv 2739   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424  {csn 3594   class class class wbr 4005   ≼ cdom 6741  Fincfn 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745

This theorem is referenced by: (None)