Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  domfiexmid GIF version

Theorem domfiexmid 6772
 Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
domfiexmid.1 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
domfiexmid (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem domfiexmid
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4055 . . . 4 ∅ ∈ V
2 snfig 6708 . . . 4 (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . 3 {∅} ∈ Fin
4 ssrab2 3182 . . . 4 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}
5 ssdomg 6672 . . . 4 ({∅} ∈ Fin → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅} → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
63, 4, 5mp2 16 . . 3 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}
7 domfiexmid.1 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
87gen2 1426 . . . . 5 𝑥𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
9 p0ex 4112 . . . . . 6 {∅} ∈ V
10 eleq1 2202 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {∅} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {∅} ∈ Fin))
11 breq2 3933 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {∅} → (𝑦𝑥𝑦 ≼ {∅}))
1210, 11anbi12d 464 . . . . . . . 8 (𝑥 = {∅} → ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅})))
1312imbi1d 230 . . . . . . 7 (𝑥 = {∅} → (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
1413albidv 1796 . . . . . 6 (𝑥 = {∅} → (∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
159, 14spcv 2779 . . . . 5 (∀𝑥𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin))
168, 15ax-mp 5 . . . 4 𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)
179rabex 4072 . . . . 5 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ V
18 breq1 3932 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ≼ {∅} ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
1918anbi2d 459 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅})))
20 eleq1 2202 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ∈ Fin ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
2119, 20imbi12d 233 . . . . 5 (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → ((({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)))
2217, 21spcv 2779 . . . 4 (∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) → (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
2316, 22ax-mp 5 . . 3 (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)
243, 6, 23mp2an 422 . 2 {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
2524ssfilem 6769 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697  ∀wal 1329   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {crab 2420  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  {csn 3527   class class class wbr 3929   ≼ cdom 6633  Fincfn 6634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator