Theorem domfiexmid 6896

Description: If any set dominated by a finite set is finite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
domfiexmid.1	⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
domfiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem domfiexmid

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4145	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		snfig 6832	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
4		ssrab2 3255	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅}
5		ssdomg 6796	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Fin → ({𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ⊆ {∅} → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
6	3, 4, 5	mp2 16	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}
7		domfiexmid.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
8	7	gen2 1461	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
9		p0ex 4203	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
10		eleq1 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {∅} ∈ Fin))
11		breq2 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {∅} → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ {∅}))
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {∅} → ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅})))
13	12	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → (((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
14	13	albidv 1835	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {∅} → (∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)))
15	9, 14	spcv 2846	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin))
16	8, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)
17	9	rabex 4162	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ V
18		breq1 4021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ≼ {∅} ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}))
19	18	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) ↔ ({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅})))
20		eleq1 2252	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → (𝑦 ∈ Fin ↔ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} → ((({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) ↔ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)))
22	17, 21	spcv 2846	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(({∅} ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin) → (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin))
23	16, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ≼ {∅}) → {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin)
24	3, 6, 23	mp2an 426	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ {∅} ∣ 𝜑} ∈ Fin
25	24	ssfilem 6893	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {crab 2472  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  {csn 3607   class class class wbr 4018   ≼ cdom 6757  Fincfn 6758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-1o 6435  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761

This theorem is referenced by: (None)