Theorem dvdsaddr 12218

Description: An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsaddr	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( N + M ) ) )

Proof of Theorem dvdsaddr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsadd 12217	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( M + N ) ) )
2		zcn 9392	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
3		zcn 9392	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
4		addcom 8224	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( M + N ) = ( N + M ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) = ( N + M ) )
6	5	breq2d 4062	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || ( M + N ) <-> M || ( N + M ) ) )
7	1, 6	bitrd 188	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( N + M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956   CCcc 7938   + caddc 7943   ZZcz 9387   || cdvds 12168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-dvds 12169

This theorem is referenced by: (None)