Theorem dvdsadd 12222

Description: An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsadd	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( M + N ) ) )

Proof of Theorem dvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
2		zaddcl 9432	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
3		simpr 110	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
4		iddvds 12190	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M || M )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || M )
6		zcn 9397	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
7		zcn 9397	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
8		pncan 8298	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
10	5, 9	breqtrrd 4079	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( ( M + N ) - N ) )
11		dvdssub2 12221	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M || ( ( M + N ) - N ) ) -> ( M || ( M + N ) <-> M || N ) )
12	1, 2, 3, 10, 11	syl31anc 1253	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || ( M + N ) <-> M || N ) )
13	12	bicomd 141	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( M + N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   CCcc 7943   + caddc 7948   - cmin 8263   ZZcz 9392   || cdvds 12173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-dvds 12174

This theorem is referenced by:  dvdsaddr  12223  dvdssub  12224  dvdssubr  12225  oddp1even  12262  dec5dvds2  12811  lgsdir2lem2  15581