Theorem dvdsadd 12001

Description: An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsadd	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( M + N ) ) )

Proof of Theorem dvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
2		zaddcl 9366	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
3		simpr 110	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
4		iddvds 11969	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M || M )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || M )
6		zcn 9331	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
7		zcn 9331	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
8		pncan 8232	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
10	5, 9	breqtrrd 4061	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( ( M + N ) - N ) )
11		dvdssub2 12000	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M || ( ( M + N ) - N ) ) -> ( M || ( M + N ) <-> M || N ) )
12	1, 2, 3, 10, 11	syl31anc 1252	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || ( M + N ) <-> M || N ) )
13	12	bicomd 141	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( M + N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   + caddc 7882   - cmin 8197   ZZcz 9326   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  dvdsaddr  12002  dvdssub  12003  dvdssubr  12004  oddp1even  12041  dec5dvds2  12582  lgsdir2lem2  15270