ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdssub Unicode version

Theorem dvdssub 11736
Description: An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdssub  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( M  -  N ) ) )

Proof of Theorem dvdssub
StepHypRef Expression
1 dvdsnegb 11708 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  -u N ) )
2 znegcl 9199 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
3 dvdsadd 11734 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  -u N  <->  M  ||  ( M  +  -u N ) ) )
42, 3sylan2 284 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  -u N  <->  M 
||  ( M  +  -u N ) ) )
5 zcn 9173 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
6 zcn 9173 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 negsub 8124 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
85, 6, 7syl2an 287 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
98breq2d 3978 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( M  +  -u N )  <-> 
M  ||  ( M  -  N ) ) )
101, 4, 93bitrd 213 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  M 
||  ( M  -  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   CCcc 7731    + caddc 7736    - cmin 8047   -ucneg 8048   ZZcz 9168    || cdvds 11687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-ltadd 7849
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-dvds 11688
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator