Theorem dvdssub 11736

Description: An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssub	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( M - N ) ) )

Proof of Theorem dvdssub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsnegb 11708	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || -u N ) )
2		znegcl 9199	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
3		dvdsadd 11734	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( M || -u N <-> M || ( M + -u N ) ) )
4	2, 3	sylan2 284	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || -u N <-> M || ( M + -u N ) ) )
5		zcn 9173	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
6		zcn 9173	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
7		negsub 8124	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
8	5, 6, 7	syl2an 287	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + -u N ) = ( M - N ) )
9	8	breq2d 3978	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || ( M + -u N ) <-> M || ( M - N ) ) )
10	1, 4, 9	3bitrd 213	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> M || ( M - N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   CCcc 7731   + caddc 7736   - cmin 8047   -ucneg 8048   ZZcz 9168   || cdvds 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-ltadd 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-dvds 11688

This theorem is referenced by: (None)