Theorem dvdsmultr1d 11834

Description: Natural deduction form of dvdsmultr1 11833. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsmultr1d.1	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdsmultr1d.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdsmultr1d.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
dvdsmultr1d.4	|- ( ph -> K || M )

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr1d	|- ( ph -> K || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmultr1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmultr1d.4	. 2 |- ( ph -> K || M )
2		dvdsmultr1d.1	. . 3 |- ( ph -> K e. ZZ )
3		dvdsmultr1d.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		dvdsmultr1d.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		dvdsmultr1 11833	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1238	. 2 |- ( ph -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )
7	1, 6	mpd 13	1 |- ( ph -> K || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   x. cmul 7815   ZZcz 9251   || cdvds 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-dvds 11790

This theorem is referenced by:  dvdsmod  11862  mulgcddvds  12088  phimullem  12219