Theorem dvdsmultr1d 11532

Description: Natural deduction form of dvdsmultr1 11531. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsmultr1d.1	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdsmultr1d.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdsmultr1d.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
dvdsmultr1d.4	|- ( ph -> K || M )

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr1d	|- ( ph -> K || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmultr1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmultr1d.4	. 2 |- ( ph -> K || M )
2		dvdsmultr1d.1	. . 3 |- ( ph -> K e. ZZ )
3		dvdsmultr1d.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		dvdsmultr1d.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		dvdsmultr1 11531	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )
7	1, 6	mpd 13	1 |- ( ph -> K || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   x. cmul 7625   ZZcz 9054   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-dvds 11494

This theorem is referenced by:  dvdsmod  11560  mulgcddvds  11775  phimullem  11901