Theorem dvdsmultr1d 12392

Description: Natural deduction form of dvdsmultr1 12391. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsmultr1d.1	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdsmultr1d.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdsmultr1d.3	|- ( ph -> N e. ZZ )
dvdsmultr1d.4	|- ( ph -> K || M )

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr1d	|- ( ph -> K || ( M x. N ) )

Proof of Theorem dvdsmultr1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmultr1d.4	. 2 |- ( ph -> K || M )
2		dvdsmultr1d.1	. . 3 |- ( ph -> K e. ZZ )
3		dvdsmultr1d.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		dvdsmultr1d.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		dvdsmultr1 12391	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )
7	1, 6	mpd 13	1 |- ( ph -> K || ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   x. cmul 8036   ZZcz 9478   || cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  dvdsmod  12422  mulgcddvds  12665  phimullem  12796