Theorem mulgcddvds 12094

Description: One half of rpmulgcd2 12095, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mulgcddvds	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( K gcd M ) x. ( K gcd N ) ) )

Proof of Theorem mulgcddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
2		simp2 998	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3		simp3 999	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
4	2, 3	zmulcld 9381	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
5	1, 4	gcdcld 11969	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) e. NN0 )
6	5	nn0zd 9373	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) e. ZZ )
7		dvds0 11813	. . . . 5 |- ( ( K gcd ( M x. N ) ) e. ZZ -> ( K gcd ( M x. N ) ) || 0 )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || 0 )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) = 0 ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || 0 )
10		oveq2 5883	. . . 4 |- ( ( K gcd N ) = 0 -> ( ( K gcd M ) x. ( K gcd N ) ) = ( ( K gcd M ) x. 0 ) )
11	1, 2	gcdcld 11969	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd M ) e. NN0 )
12	11	nn0cnd 9231	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd M ) e. CC )
13	12	mul01d 8350	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd M ) x. 0 ) = 0 )
14	10, 13	sylan9eqr 2232	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) = 0 ) -> ( ( K gcd M ) x. ( K gcd N ) ) = 0 )
15	9, 14	breqtrrd 4032	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) = 0 ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( K gcd M ) x. ( K gcd N ) ) )
16	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) e. ZZ )
17	16	zcnd 9376	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) e. CC )
18	1, 3	gcdcld 11969	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd N ) e. NN0 )
19	18	nn0zd 9373	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd N ) e. ZZ )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd N ) e. ZZ )
21	20	zcnd 9376	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd N ) e. CC )
22		0zd 9265	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
23		zapne 9327	. . . . . 6 |- ( ( ( K gcd N ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( K gcd N ) # 0 <-> ( K gcd N ) =/= 0 ) )
24	19, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd N ) # 0 <-> ( K gcd N ) =/= 0 ) )
25	24	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd N ) # 0 )
26	17, 21, 25	divcanap1d 8748	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) = ( K gcd ( M x. N ) ) )
27		gcddvds 11964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) || K /\ ( K gcd ( M x. N ) ) || ( M x. N ) ) )
28	1, 4, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) || K /\ ( K gcd ( M x. N ) ) || ( M x. N ) ) )
29	28	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || K )
30	6, 1, 19, 29	dvdsmultr1d 11839	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( K x. ( K gcd N ) ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( K x. ( K gcd N ) ) )
32	26, 31	eqbrtrd 4026	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) || ( K x. ( K gcd N ) ) )
33		gcddvds 11964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd N ) || K /\ ( K gcd N ) || N ) )
34	1, 3, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd N ) || K /\ ( K gcd N ) || N ) )
35	34	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd N ) || K )
36	34	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd N ) || N )
37		dvdsmultr2 11840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K gcd N ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd N ) || N -> ( K gcd N ) || ( M x. N ) ) )
38	19, 2, 3, 37	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd N ) || N -> ( K gcd N ) || ( M x. N ) ) )
39	36, 38	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd N ) || ( M x. N ) )
40		dvdsgcd 12013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K gcd N ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( ( K gcd N ) || K /\ ( K gcd N ) || ( M x. N ) ) -> ( K gcd N ) || ( K gcd ( M x. N ) ) ) )
41	19, 1, 4, 40	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( K gcd N ) || K /\ ( K gcd N ) || ( M x. N ) ) -> ( K gcd N ) || ( K gcd ( M x. N ) ) ) )
42	35, 39, 41	mp2and 433	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd N ) || ( K gcd ( M x. N ) ) )
43	42	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd N ) || ( K gcd ( M x. N ) ) )
44		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd N ) =/= 0 )
45		dvdsval2 11797	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K gcd N ) e. ZZ /\ ( K gcd N ) =/= 0 /\ ( K gcd ( M x. N ) ) e. ZZ ) -> ( ( K gcd N ) || ( K gcd ( M x. N ) ) <-> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) e. ZZ ) )
46	20, 44, 16, 45	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( K gcd N ) || ( K gcd ( M x. N ) ) <-> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) e. ZZ ) )
47	43, 46	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) e. ZZ )
48	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> K e. ZZ )
49		dvdsmulcr 11828	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( ( K gcd N ) e. ZZ /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) || ( K x. ( K gcd N ) ) <-> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || K ) )
50	47, 48, 20, 44, 49	syl112anc 1242	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) || ( K x. ( K gcd N ) ) <-> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || K ) )
51	32, 50	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || K )
52		nn0abscl 11094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` M ) e. NN0 )
53	2, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` M ) e. NN0 )
54	53	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` M ) e. ZZ )
55		dvdsmultr2 11840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) e. ZZ /\ ( abs ` M ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) || K -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. K ) ) )
56	6, 54, 1, 55	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) || K -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. K ) ) )
57	29, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. K ) )
58	28	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( M x. N ) )
59		iddvds 11811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> M || M )
60	2, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || M )
61		dvdsabsb 11817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M || M <-> M || ( abs ` M ) ) )
62	2, 2, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || M <-> M || ( abs ` M ) ) )
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( abs ` M ) )
64		dvdsmulc 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ ( abs ` M ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || ( abs ` M ) -> ( M x. N ) || ( ( abs ` M ) x. N ) ) )
65	2, 54, 3, 64	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || ( abs ` M ) -> ( M x. N ) || ( ( abs ` M ) x. N ) ) )
66	63, 65	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) || ( ( abs ` M ) x. N ) )
67	54, 3	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) x. N ) e. ZZ )
68		dvdstr 11835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ /\ ( ( abs ` M ) x. N ) e. ZZ ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) || ( M x. N ) /\ ( M x. N ) || ( ( abs ` M ) x. N ) ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. N ) ) )
69	6, 4, 67, 68	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) || ( M x. N ) /\ ( M x. N ) || ( ( abs ` M ) x. N ) ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. N ) ) )
70	58, 66, 69	mp2and 433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. N ) )
71	54, 1	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) x. K ) e. ZZ )
72		dvdsgcd 12013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) e. ZZ /\ ( ( abs ` M ) x. K ) e. ZZ /\ ( ( abs ` M ) x. N ) e. ZZ ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. K ) /\ ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. N ) ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( ( abs ` M ) x. K ) gcd ( ( abs ` M ) x. N ) ) ) )
73	6, 71, 67, 72	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. K ) /\ ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( abs ` M ) x. N ) ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( ( abs ` M ) x. K ) gcd ( ( abs ` M ) x. N ) ) ) )
74	57, 70, 73	mp2and 433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( ( abs ` M ) x. K ) gcd ( ( abs ` M ) x. N ) ) )
75	18	nn0red 9230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd N ) e. RR )
76	18	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 <_ ( K gcd N ) )
77	75, 76	absidd 11176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` ( K gcd N ) ) = ( K gcd N ) )
78	77	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) x. ( abs ` ( K gcd N ) ) ) = ( ( abs ` M ) x. ( K gcd N ) ) )
79	2	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. CC )
80	18	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd N ) e. CC )
81	79, 80	absmuld 11203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` ( M x. ( K gcd N ) ) ) = ( ( abs ` M ) x. ( abs ` ( K gcd N ) ) ) )
82		mulgcd 12017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` M ) e. NN0 /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` M ) x. K ) gcd ( ( abs ` M ) x. N ) ) = ( ( abs ` M ) x. ( K gcd N ) ) )
83	53, 1, 3, 82	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` M ) x. K ) gcd ( ( abs ` M ) x. N ) ) = ( ( abs ` M ) x. ( K gcd N ) ) )
84	78, 81, 83	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` ( M x. ( K gcd N ) ) ) = ( ( ( abs ` M ) x. K ) gcd ( ( abs ` M ) x. N ) ) )
85	74, 84	breqtrrd 4032	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( abs ` ( M x. ( K gcd N ) ) ) )
86	2, 19	zmulcld 9381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. ( K gcd N ) ) e. ZZ )
87		dvdsabsb 11817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) e. ZZ /\ ( M x. ( K gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) || ( M x. ( K gcd N ) ) <-> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( abs ` ( M x. ( K gcd N ) ) ) ) )
88	6, 86, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) || ( M x. ( K gcd N ) ) <-> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( abs ` ( M x. ( K gcd N ) ) ) ) )
89	85, 88	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( M x. ( K gcd N ) ) )
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( M x. ( K gcd N ) ) )
91	26, 90	eqbrtrd 4026	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) || ( M x. ( K gcd N ) ) )
92	2	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> M e. ZZ )
93		dvdsmulcr 11828	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( ( K gcd N ) e. ZZ /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) || ( M x. ( K gcd N ) ) <-> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || M ) )
94	47, 92, 20, 44, 93	syl112anc 1242	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) || ( M x. ( K gcd N ) ) <-> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || M ) )
95	91, 94	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || M )
96		dvdsgcd 12013	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || K /\ ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || M ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || ( K gcd M ) ) )
97	47, 48, 92, 96	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || K /\ ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || M ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || ( K gcd M ) ) )
98	51, 95, 97	mp2and 433	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || ( K gcd M ) )
99	11	nn0zd 9373	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd M ) e. ZZ )
100	99	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd M ) e. ZZ )
101		dvdsmulc 11826	. . . . 5 |- ( ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) e. ZZ /\ ( K gcd M ) e. ZZ /\ ( K gcd N ) e. ZZ ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || ( K gcd M ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) || ( ( K gcd M ) x. ( K gcd N ) ) ) )
102	47, 100, 20, 101	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) || ( K gcd M ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) || ( ( K gcd M ) x. ( K gcd N ) ) ) )
103	98, 102	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( ( ( K gcd ( M x. N ) ) / ( K gcd N ) ) x. ( K gcd N ) ) || ( ( K gcd M ) x. ( K gcd N ) ) )
104	26, 103	eqbrtrrd 4028	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K gcd N ) =/= 0 ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( K gcd M ) x. ( K gcd N ) ) )
105		zdceq 9328	. . . 4 |- ( ( ( K gcd N ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID ( K gcd N ) = 0 )
106	19, 22, 105	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( K gcd N ) = 0 )
107		exmiddc 836	. . . 4 |- (DECID ( K gcd N ) = 0 -> ( ( K gcd N ) = 0 \/ -. ( K gcd N ) = 0 ) )
108		df-ne 2348	. . . . 5 |- ( ( K gcd N ) =/= 0 <-> -. ( K gcd N ) = 0 )
109	108	orbi2i 762	. . . 4 |- ( ( ( K gcd N ) = 0 \/ ( K gcd N ) =/= 0 ) <-> ( ( K gcd N ) = 0 \/ -. ( K gcd N ) = 0 ) )
110	107, 109	sylibr 134	. . 3 |- (DECID ( K gcd N ) = 0 -> ( ( K gcd N ) = 0 \/ ( K gcd N ) =/= 0 ) )
111	106, 110	syl 14	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K gcd N ) = 0 \/ ( K gcd N ) =/= 0 ) )
112	15, 104, 111	mpjaodan 798	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K gcd ( M x. N ) ) || ( ( K gcd M ) x. ( K gcd N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   0cc0 7811   x. cmul 7816   # cap 8538   / cdiv 8629   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   abscabs 11006   || cdvds 11794   gcd cgcd 11943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944

This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  12095  rpmul  12098