Theorem dvdsmultr1d 11839

Description: Natural deduction form of dvdsmultr1 11838. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsmultr1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdsmultr1d.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdsmultr1d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvdsmultr1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr1d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmultr1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmultr1d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
2		dvdsmultr1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3		dvdsmultr1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		dvdsmultr1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		dvdsmultr1 11838	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
7	1, 6	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   · cmul 7816  ℤcz 9253   ∥ cdvds 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-dvds 11795

This theorem is referenced by:  dvdsmod  11868  mulgcddvds  12094  phimullem  12225