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Theorem bcpasc 10353
Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers  K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcpasc  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )

Proof of Theorem bcpasc
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 8869 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2 elfzp12 9720 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
3 nn0uz 9210 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
42, 3eleq2s 2194 . . . . . 6  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
51, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) ) )
6 1p0e1 8694 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7 bcn0 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  0 )  =  1 )
8 0z 8917 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
9 1z 8932 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
10 zsubcl 8947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  1 )  e.  ZZ )
118, 9, 10mp2an 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  1 )  e.  ZZ
12 0re 7638 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
13 ltm1 8462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  -  1 )  <  0 )
1412, 13ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  1 )  <  0
1514orci 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) )
16 bcval4 10339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 0  -  1 )  <  0  \/  N  <  ( 0  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
1711, 15, 16mp3an23 1275 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( 0  -  1 ) )  =  0 )
187, 17oveq12d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( 1  +  0 ) )
19 bcn0 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
201, 19syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  0 )  =  1 )
216, 18, 203eqtr4a 2158 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  ( 0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  + 
1 )  _C  0
) )
22 oveq2 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  0
) )
23 oveq1 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( K  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
2423oveq2d 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )
2522, 24oveq12d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) ) )
26 oveq2 5714 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) )
2725, 26eqeq12d 2114 . . . . . . 7  |-  ( K  =  0  ->  (
( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K )  <->  ( ( N  _C  0 )  +  ( N  _C  (
0  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  0 ) ) )
2821, 27syl5ibrcom 156 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  =  0  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
29 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )
30 0p1e1 8692 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3130oveq1i 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3229, 31syl6eleq 2192 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
33 nn0p1nn 8868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
34 nnuz 9211 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2192 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
36 fzm1 9721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
3736biimpa 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
3835, 37sylan 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( K  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
39 nn0cn 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
40 ax-1cn 7588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
41 pncan 7839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
4239, 40, 41sylancl 407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4342oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
4443eleq2d 2169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  <->  K  e.  ( 1 ... N
) ) )
4544biimpa 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  K  e.  ( 1 ... N ) )
46 1eluzge0 9219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
47 fzss1 9684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
4846, 47ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4948sseli 3043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
50 bcp1n 10348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  _C  K )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
52 bcrpcl 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5349, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  RR+ )
5453rpcnd 9332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  e.  CC )
55 elfzuz2 9650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5655, 34syl6eleqr 2193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
5756peano2nnd 8593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
5857nncnd 8592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5956nncnd 8592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
60 1cnd 7654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
61 elfzelz 9647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
6261zcnd 9026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
6359, 60, 62addsubd 7965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
64 fznn0sub 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
65 nn0p1nn 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
6763, 66eqeltrd 2176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  NN )
6867nncnd 8592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  CC )
6967nnap0d 8624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K ) #  0 )
7054, 58, 68, 69div12apd 8448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) ) ) )
7167nnrpd 9329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  K )  e.  RR+ )
7253, 71rpdivcld 9348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  RR+ )
7372rpcnd 9332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  e.  CC )
7458, 73mulcomd 7659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7570, 74eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7658, 62npcand 7948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  +  K )  =  ( N  + 
1 ) )
7776oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
7873, 68, 62adddid 7662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  +  K ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
7975, 77, 783eqtr2d 2138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  K
) ) )
8054, 68, 69divcanap1d 8412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( N  _C  K ) )
81 elfznn 9675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
8281nnap0d 8624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K #  0 )
8354, 68, 62, 69, 82divdivap2d 8444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  x.  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) ) )
84 bcm1k 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
8559, 62, 60subsub3d 7974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  K ) )
8685oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )
8786oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K
) ) )
8884, 87eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) ) )
89 fzelp1 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
9057nnzd 9024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
91 elfzm1b 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9261, 90, 91syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
9389, 92mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
9459, 40, 41sylancl 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9594oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
9693, 95eleqtrd 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
97 bcrpcl 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  RR+ )
9998rpcnd 9332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  e.  CC )
10081nnrpd 9329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  RR+ )
10171, 100rpdivcld 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  RR+ )
102101rpcnd 9332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K )  e.  CC )
10368, 62, 69, 82divap0d 8427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) #  0 )
10454, 99, 102, 103divmulap3d 8446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( ( N  + 
1 )  -  K
)  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  <->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) ) ) )
10588, 104mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  /  ( ( ( N  +  1 )  -  K )  /  K ) )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10654, 62, 68, 69div23apd 8449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  x.  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  =  ( ( ( N  _C  K )  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )
10783, 105, 1063eqtr3rd 2141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( N  _C  K )  /  (
( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K )  =  ( N  _C  ( K  -  1
) ) )
10880, 107oveq12d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  _C  K )  / 
( ( N  + 
1 )  -  K
) )  x.  (
( N  +  1 )  -  K ) )  +  ( ( ( N  _C  K
)  /  ( ( N  +  1 )  -  K ) )  x.  K ) )  =  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) ) )
10951, 79, 1083eqtrrd 2137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
11045, 109syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
111 oveq2 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  K )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
11233nnzd 9024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
113 nn0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
114113ltp1d 8546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  < 
( N  +  1 ) )
115114olcd 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
116 bcval4 10339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
117112, 115, 116mpd3an23 1285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  + 
1 ) )  =  0 )
118111, 117sylan9eqr 2154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
119 oveq1 5713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  ( K  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
120119, 42sylan9eqr 2154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( K  - 
1 )  =  N )
121120oveq2d 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  ( N  _C  N ) )
122 bcnn 10344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
123122adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
124121, 123eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  1 )
125118, 124oveq12d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( 0  +  1 ) )
126 oveq2 5714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  +  1 ) ) )
127 bcnn 10344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
1281, 127syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  _C  ( N  + 
1 ) )  =  1 )
129126, 128sylan9eqr 2154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  1 )
13030, 125, 1293eqtr4a 2158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  =  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
131110, 130jaodan 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  e.  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13238, 131syldan 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
13332, 132syldan 278 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
134133ex 114 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
13528, 134jaod 678 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( K  =  0  \/  K  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
1365, 135sylbid 149 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) ) )
137136imp 123 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
138137adantlr 464 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
139 00id 7774 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
140 fzelp1 9695 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
141140con3i 602 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  ->  -.  K  e.  (
0 ... N ) )
142 bcval3 10338 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1431423expa 1149 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
144141, 143sylan2 282 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
145 simpll 499 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
146 simplr 500 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
147 peano2zm 8944 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
148146, 147syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
14939adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
150149, 40, 41sylancl 407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
151150oveq2d 5722 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
152151eleq2d 2169 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
153 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
1541nn0zd 9023 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
155153, 154, 91syl2anr 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
156 fzp1ss 9694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
1578, 156ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
15831, 157eqsstr3i 3080 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
159158sseli 3043 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
160155, 159syl6bir 163 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
161152, 160sylbird 169 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
162161con3dimp 604 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  ( K  -  1
)  e.  ( 0 ... N ) )
163 bcval3 10338 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  -  1
)  e.  ZZ  /\  -.  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  ( K  -  1
) )  =  0 )
164145, 148, 162, 163syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  0 )
165144, 164oveq12d 5724 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
166145, 1syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
167 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
168 bcval3 10338 . . . 4  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
169166, 146, 167, 168syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  _C  K )  =  0 )
170139, 165, 1693eqtr4a 2158 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  K
)  +  ( N  _C  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
171 simpr 109 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
172 0zd 8918 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
173112adantr 272 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
174 fzdcel 9661 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> DECID  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
175 exmiddc 788 . . . 4  |-  (DECID  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \/  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
176174, 175syl 14 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \/  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
177171, 172, 173, 176syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \/  -.  K  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ) )
178138, 170, 177mpjaodan 753 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  K )  +  ( N  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 670  DECID wdc 786    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448    C_ wss 3021   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   CCcc 7498   RRcr 7499   0cc0 7500   1c1 7501    + caddc 7503    x. cmul 7505    < clt 7672    - cmin 7804    / cdiv 8293   NNcn 8578   NN0cn0 8829   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176   RR+crp 9291   ...cfz 9631    _C cbc 10334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-seqfrec 10060  df-fac 10313  df-bc 10335
This theorem is referenced by:  bccl  10354  bcn2m1  10356  bcn2p1  10357  binomlem  11091  bcxmas  11097  ex-bc  12544
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