Theorem bcpasc 10913

Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcpasc	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Proof of Theorem bcpasc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 9337	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
2		elfzp12 10223	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
3		nn0uz 9685	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
4	2, 3	eleq2s 2300	. . . . . 6 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
6		1p0e1 9154	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 0 ) = 1
7		bcn0 10902	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )
8		0z 9385	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
9		1z 9400	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
10		zsubcl 9415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
11	8, 9, 10	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 - 1 ) e. ZZ
12		0re 8074	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
13		ltm1 8921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> ( 0 - 1 ) < 0 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 - 1 ) < 0
15	14	orci 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) )
16		bcval4 10899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) ) ) -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
17	11, 15, 16	mp3an23 1342	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
18	7, 17	oveq12d 5964	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( 1 + 0 ) )
19		bcn0 10902	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
20	1, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
21	6, 18, 20	3eqtr4a 2264	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
22		oveq2 5954	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C K ) = ( N _C 0 ) )
23		oveq1 5953	. . . . . . . . . 10 |- ( K = 0 -> ( K - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
24	23	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C ( 0 - 1 ) ) )
25	22, 24	oveq12d 5964	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) )
26		oveq2 5954	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
27	25, 26	eqeq12d 2220	. . . . . . 7 |- ( K = 0 -> ( ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) <-> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) ) )
28	21, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
30		0p1e1 9152	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
31	30	oveq1i 5956	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
32	29, 31	eleqtrdi 2298	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
33		nn0p1nn 9336	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
34		nnuz 9686	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
35	33, 34	eleqtrdi 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
36		fzm1 10224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
37	36	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
38	35, 37	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
39		nn0cn 9307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
40		ax-1cn 8020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
41		pncan 8280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
43	42	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
44	43	eleq2d 2275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> K e. ( 1 ... N ) ) )
45	44	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... N ) )
46		1eluzge0 9697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
47		fzss1 10187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
49	48	sseli 3189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
50		bcp1n 10908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
52		bcrpcl 10900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
53	49, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
54	53	rpcnd 9822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. CC )
55		elfzuz2 10153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56	55, 34	eleqtrrdi 2299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
57	56	peano2nnd 9053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. NN )
58	57	nncnd 9052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. CC )
59	56	nncnd 9052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
60		1cnd 8090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
61		elfzelz 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
62	61	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
63	59, 60, 62	addsubd 8406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
64		fznn0sub 10181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
65		nn0p1nn 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
67	63, 66	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. NN )
68	67	nncnd 9052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. CC )
69	67	nnap0d 9084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) # 0 )
70	54, 58, 68, 69	div12apd 8902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
71	67	nnrpd 9818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. RR+ )
72	53, 71	rpdivcld 9838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. RR+ )
73	72	rpcnd 9822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. CC )
74	58, 73	mulcomd 8096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
76	58, 62	npcand 8389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) = ( N + 1 ) )
77	76	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
78	73, 68, 62	adddid 8099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
79	75, 77, 78	3eqtr2d 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
80	54, 68, 69	divcanap1d 8866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( N _C K ) )
81		elfznn 10178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
82	81	nnap0d 9084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K # 0 )
83	54, 68, 62, 69, 82	divdivap2d 8898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) )
84		bcm1k 10907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
85	59, 62, 60	subsub3d 8415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - K ) )
86	85	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) )
87	86	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
88	84, 87	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
89		fzelp1 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
90	57	nnzd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
91		elfzm1b 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
92	61, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
93	89, 92	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
94	59, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
95	94	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
96	93, 95	eleqtrd 2284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
97		bcrpcl 10900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
99	98	rpcnd 9822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. CC )
100	81	nnrpd 9818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. RR+ )
101	71, 100	rpdivcld 9838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. RR+ )
102	101	rpcnd 9822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. CC )
103	68, 62, 69, 82	divap0d 8881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) # 0 )
104	54, 99, 102, 103	divmulap3d 8900	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) ) )
105	88, 104	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
106	54, 62, 68, 69	div23apd 8903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) )
107	83, 105, 106	3eqtr3rd 2247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
108	80, 107	oveq12d 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) = ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) )
109	51, 79, 108	3eqtrrd 2243	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
110	45, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
111		oveq2 5954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( N _C K ) = ( N _C ( N + 1 ) ) )
112	33	nnzd 9496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
113		nn0re 9306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
114	113	ltp1d 9005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N < ( N + 1 ) )
115	114	olcd 736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) )
116		bcval4 10899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
117	112, 115, 116	mpd3an23 1352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
118	111, 117	sylan9eqr 2260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
119		oveq1 5953	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( K - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
120	119, 42	sylan9eqr 2260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( K - 1 ) = N )
121	120	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C N ) )
122		bcnn 10904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N _C N ) = 1 )
123	122	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C N ) = 1 )
124	121, 123	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 1 )
125	118, 124	oveq12d 5964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 1 ) )
126		oveq2 5954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
127		bcnn 10904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
128	1, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
129	126, 128	sylan9eqr 2260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 1 )
130	30, 125, 129	3eqtr4a 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
131	110, 130	jaodan 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
132	38, 131	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
133	32, 132	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
134	133	ex 115	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
135	28, 134	jaod 719	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
136	5, 135	sylbid 150	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
137	136	imp 124	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
138	137	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
139		00id 8215	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
140		fzelp1 10198	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
141	140	con3i 633	. . . . 5 |- ( -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
142		bcval3 10898	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
143	142	3expa 1206	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
144	141, 143	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
145		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
146		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
147		peano2zm 9412	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
148	146, 147	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
149	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
150	149, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
151	150	oveq2d 5962	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
152	151	eleq2d 2275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
153		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
154	1	nn0zd 9495	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
155	153, 154, 91	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
156		fzp1ss 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
157	8, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
158	31, 157	eqsstrri 3226	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
159	158	sseli 3189	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
160	155, 159	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
161	152, 160	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
162	161	con3dimp 636	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
163		bcval3 10898	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K - 1 ) e. ZZ /\ -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
164	145, 148, 162, 163	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
165	144, 164	oveq12d 5964	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
166	145, 1	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
167		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
168		bcval3 10898	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
169	166, 146, 167, 168	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
170	139, 165, 169	3eqtr4a 2264	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
171		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
172		0zd 9386	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
173	112	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
174		fzdcel 10164	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
175		exmiddc 838	. . . 4 |- (DECID K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
176	174, 175	syl 14	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
177	171, 172, 173, 176	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
178	138, 170, 177	mpjaodan 800	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   < clt 8109   - cmin 8245   / cdiv 8747   NNcn 9038   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   RR+crp 9777   ...cfz 10132   _C cbc 10894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-seqfrec 10595  df-fac 10873  df-bc 10895

This theorem is referenced by:  bccl  10914  bcn2m1  10916  bcn2p1  10917  binomlem  11827  bcxmas  11833  ex-bc  15702