Theorem bcpasc 10858

Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcpasc	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Proof of Theorem bcpasc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 9289	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
2		elfzp12 10174	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
3		nn0uz 9636	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
4	2, 3	eleq2s 2291	. . . . . 6 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
6		1p0e1 9106	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 0 ) = 1
7		bcn0 10847	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )
8		0z 9337	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
9		1z 9352	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
10		zsubcl 9367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
11	8, 9, 10	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 - 1 ) e. ZZ
12		0re 8026	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
13		ltm1 8873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> ( 0 - 1 ) < 0 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 - 1 ) < 0
15	14	orci 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) )
16		bcval4 10844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) ) ) -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
17	11, 15, 16	mp3an23 1340	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
18	7, 17	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( 1 + 0 ) )
19		bcn0 10847	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
20	1, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
21	6, 18, 20	3eqtr4a 2255	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
22		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C K ) = ( N _C 0 ) )
23		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( K = 0 -> ( K - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
24	23	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C ( 0 - 1 ) ) )
25	22, 24	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) )
26		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
27	25, 26	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( K = 0 -> ( ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) <-> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) ) )
28	21, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
30		0p1e1 9104	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
31	30	oveq1i 5932	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
32	29, 31	eleqtrdi 2289	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
33		nn0p1nn 9288	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
34		nnuz 9637	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
35	33, 34	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
36		fzm1 10175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
37	36	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
38	35, 37	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
39		nn0cn 9259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
40		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
41		pncan 8232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
43	42	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
44	43	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> K e. ( 1 ... N ) ) )
45	44	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... N ) )
46		1eluzge0 9648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
47		fzss1 10138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
49	48	sseli 3179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
50		bcp1n 10853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
52		bcrpcl 10845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
53	49, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
54	53	rpcnd 9773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. CC )
55		elfzuz2 10104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56	55, 34	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
57	56	peano2nnd 9005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. NN )
58	57	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. CC )
59	56	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
60		1cnd 8042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
61		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
62	61	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
63	59, 60, 62	addsubd 8358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
64		fznn0sub 10132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
65		nn0p1nn 9288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
67	63, 66	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. NN )
68	67	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. CC )
69	67	nnap0d 9036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) # 0 )
70	54, 58, 68, 69	div12apd 8854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
71	67	nnrpd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. RR+ )
72	53, 71	rpdivcld 9789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. RR+ )
73	72	rpcnd 9773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. CC )
74	58, 73	mulcomd 8048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
76	58, 62	npcand 8341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) = ( N + 1 ) )
77	76	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
78	73, 68, 62	adddid 8051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
79	75, 77, 78	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
80	54, 68, 69	divcanap1d 8818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( N _C K ) )
81		elfznn 10129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
82	81	nnap0d 9036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K # 0 )
83	54, 68, 62, 69, 82	divdivap2d 8850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) )
84		bcm1k 10852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
85	59, 62, 60	subsub3d 8367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - K ) )
86	85	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) )
87	86	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
88	84, 87	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
89		fzelp1 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
90	57	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
91		elfzm1b 10173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
92	61, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
93	89, 92	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
94	59, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
95	94	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
96	93, 95	eleqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
97		bcrpcl 10845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
99	98	rpcnd 9773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. CC )
100	81	nnrpd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. RR+ )
101	71, 100	rpdivcld 9789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. RR+ )
102	101	rpcnd 9773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. CC )
103	68, 62, 69, 82	divap0d 8833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) # 0 )
104	54, 99, 102, 103	divmulap3d 8852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) ) )
105	88, 104	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
106	54, 62, 68, 69	div23apd 8855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) )
107	83, 105, 106	3eqtr3rd 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
108	80, 107	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) = ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) )
109	51, 79, 108	3eqtrrd 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
110	45, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
111		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( N _C K ) = ( N _C ( N + 1 ) ) )
112	33	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
113		nn0re 9258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
114	113	ltp1d 8957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N < ( N + 1 ) )
115	114	olcd 735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) )
116		bcval4 10844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
117	112, 115, 116	mpd3an23 1350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
118	111, 117	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
119		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( K - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
120	119, 42	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( K - 1 ) = N )
121	120	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C N ) )
122		bcnn 10849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N _C N ) = 1 )
123	122	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C N ) = 1 )
124	121, 123	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 1 )
125	118, 124	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 1 ) )
126		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
127		bcnn 10849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
128	1, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
129	126, 128	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 1 )
130	30, 125, 129	3eqtr4a 2255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
131	110, 130	jaodan 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
132	38, 131	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
133	32, 132	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
134	133	ex 115	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
135	28, 134	jaod 718	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
136	5, 135	sylbid 150	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
137	136	imp 124	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
138	137	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
139		00id 8167	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
140		fzelp1 10149	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
141	140	con3i 633	. . . . 5 |- ( -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
142		bcval3 10843	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
143	142	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
144	141, 143	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
145		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
146		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
147		peano2zm 9364	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
148	146, 147	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
149	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
150	149, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
151	150	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
152	151	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
153		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
154	1	nn0zd 9446	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
155	153, 154, 91	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
156		fzp1ss 10148	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
157	8, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
158	31, 157	eqsstrri 3216	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
159	158	sseli 3179	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
160	155, 159	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
161	152, 160	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
162	161	con3dimp 636	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
163		bcval3 10843	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K - 1 ) e. ZZ /\ -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
164	145, 148, 162, 163	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
165	144, 164	oveq12d 5940	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
166	145, 1	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
167		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
168		bcval3 10843	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
169	166, 146, 167, 168	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
170	139, 165, 169	3eqtr4a 2255	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
171		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
172		0zd 9338	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
173	112	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
174		fzdcel 10115	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
175		exmiddc 837	. . . 4 |- (DECID K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
176	174, 175	syl 14	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
177	171, 172, 173, 176	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
178	138, 170, 177	mpjaodan 799	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   RR+crp 9728   ...cfz 10083   _C cbc 10839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-fac 10818  df-bc 10840

This theorem is referenced by:  bccl  10859  bcn2m1  10861  bcn2p1  10862  binomlem  11648  bcxmas  11654  ex-bc  15375