Theorem bcpasc 10544

Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcpasc	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Proof of Theorem bcpasc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 9041	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
2		elfzp12 9910	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
3		nn0uz 9384	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
4	2, 3	eleq2s 2235	. . . . . 6 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
6		1p0e1 8860	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 0 ) = 1
7		bcn0 10533	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )
8		0z 9089	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
9		1z 9104	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
10		zsubcl 9119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
11	8, 9, 10	mp2an 423	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 - 1 ) e. ZZ
12		0re 7790	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
13		ltm1 8628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> ( 0 - 1 ) < 0 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 - 1 ) < 0
15	14	orci 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) )
16		bcval4 10530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) ) ) -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
17	11, 15, 16	mp3an23 1308	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
18	7, 17	oveq12d 5800	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( 1 + 0 ) )
19		bcn0 10533	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
20	1, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
21	6, 18, 20	3eqtr4a 2199	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
22		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C K ) = ( N _C 0 ) )
23		oveq1 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( K = 0 -> ( K - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
24	23	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C ( 0 - 1 ) ) )
25	22, 24	oveq12d 5800	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) )
26		oveq2 5790	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
27	25, 26	eqeq12d 2155	. . . . . . 7 |- ( K = 0 -> ( ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) <-> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) ) )
28	21, 27	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
29		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
30		0p1e1 8858	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
31	30	oveq1i 5792	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
32	29, 31	eleqtrdi 2233	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
33		nn0p1nn 9040	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
34		nnuz 9385	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
35	33, 34	eleqtrdi 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
36		fzm1 9911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
37	36	biimpa 294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
38	35, 37	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
39		nn0cn 9011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
40		ax-1cn 7737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
41		pncan 7992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
42	39, 40, 41	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
43	42	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
44	43	eleq2d 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> K e. ( 1 ... N ) ) )
45	44	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... N ) )
46		1eluzge0 9396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
47		fzss1 9874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
49	48	sseli 3098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
50		bcp1n 10539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
52		bcrpcl 10531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
53	49, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
54	53	rpcnd 9515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. CC )
55		elfzuz2 9840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56	55, 34	eleqtrrdi 2234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
57	56	peano2nnd 8759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. NN )
58	57	nncnd 8758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. CC )
59	56	nncnd 8758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
60		1cnd 7806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
61		elfzelz 9837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
62	61	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
63	59, 60, 62	addsubd 8118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
64		fznn0sub 9868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
65		nn0p1nn 9040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
67	63, 66	eqeltrd 2217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. NN )
68	67	nncnd 8758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. CC )
69	67	nnap0d 8790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) # 0 )
70	54, 58, 68, 69	div12apd 8611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
71	67	nnrpd 9511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. RR+ )
72	53, 71	rpdivcld 9531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. RR+ )
73	72	rpcnd 9515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. CC )
74	58, 73	mulcomd 7811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
76	58, 62	npcand 8101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) = ( N + 1 ) )
77	76	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
78	73, 68, 62	adddid 7814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
79	75, 77, 78	3eqtr2d 2179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
80	54, 68, 69	divcanap1d 8575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( N _C K ) )
81		elfznn 9865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
82	81	nnap0d 8790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K # 0 )
83	54, 68, 62, 69, 82	divdivap2d 8607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) )
84		bcm1k 10538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
85	59, 62, 60	subsub3d 8127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - K ) )
86	85	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) )
87	86	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
88	84, 87	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
89		fzelp1 9885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
90	57	nnzd 9196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
91		elfzm1b 9909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
92	61, 90, 91	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
93	89, 92	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
94	59, 40, 41	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
95	94	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
96	93, 95	eleqtrd 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
97		bcrpcl 10531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
99	98	rpcnd 9515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. CC )
100	81	nnrpd 9511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. RR+ )
101	71, 100	rpdivcld 9531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. RR+ )
102	101	rpcnd 9515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. CC )
103	68, 62, 69, 82	divap0d 8590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) # 0 )
104	54, 99, 102, 103	divmulap3d 8609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) ) )
105	88, 104	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
106	54, 62, 68, 69	div23apd 8612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) )
107	83, 105, 106	3eqtr3rd 2182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
108	80, 107	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) = ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) )
109	51, 79, 108	3eqtrrd 2178	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
110	45, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
111		oveq2 5790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( N _C K ) = ( N _C ( N + 1 ) ) )
112	33	nnzd 9196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
113		nn0re 9010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
114	113	ltp1d 8712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N < ( N + 1 ) )
115	114	olcd 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) )
116		bcval4 10530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
117	112, 115, 116	mpd3an23 1318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
118	111, 117	sylan9eqr 2195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
119		oveq1 5789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( K - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
120	119, 42	sylan9eqr 2195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( K - 1 ) = N )
121	120	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C N ) )
122		bcnn 10535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N _C N ) = 1 )
123	122	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C N ) = 1 )
124	121, 123	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 1 )
125	118, 124	oveq12d 5800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 1 ) )
126		oveq2 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
127		bcnn 10535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
128	1, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
129	126, 128	sylan9eqr 2195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 1 )
130	30, 125, 129	3eqtr4a 2199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
131	110, 130	jaodan 787	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
132	38, 131	syldan 280	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
133	32, 132	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
134	133	ex 114	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
135	28, 134	jaod 707	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
136	5, 135	sylbid 149	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
137	136	imp 123	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
138	137	adantlr 469	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
139		00id 7927	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
140		fzelp1 9885	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
141	140	con3i 622	. . . . 5 |- ( -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
142		bcval3 10529	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
143	142	3expa 1182	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
144	141, 143	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
145		simpll 519	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
146		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
147		peano2zm 9116	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
148	146, 147	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
149	39	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
150	149, 40, 41	sylancl 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
151	150	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
152	151	eleq2d 2210	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
153		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
154	1	nn0zd 9195	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
155	153, 154, 91	syl2anr 288	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
156		fzp1ss 9884	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
157	8, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
158	31, 157	eqsstrri 3135	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
159	158	sseli 3098	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
160	155, 159	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
161	152, 160	sylbird 169	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
162	161	con3dimp 625	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
163		bcval3 10529	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K - 1 ) e. ZZ /\ -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
164	145, 148, 162, 163	syl3anc 1217	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
165	144, 164	oveq12d 5800	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
166	145, 1	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
167		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
168		bcval3 10529	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
169	166, 146, 167, 168	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
170	139, 165, 169	3eqtr4a 2199	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
171		simpr 109	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
172		0zd 9090	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
173	112	adantr 274	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
174		fzdcel 9851	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
175		exmiddc 822	. . . 4 |- (DECID K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
176	174, 175	syl 14	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
177	171, 172, 173, 176	syl3anc 1217	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
178	138, 170, 177	mpjaodan 788	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   - cmin 7957   / cdiv 8456   NNcn 8744   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   RR+crp 9470   ...cfz 9821   _C cbc 10525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-seqfrec 10250  df-fac 10504  df-bc 10526

This theorem is referenced by:  bccl  10545  bcn2m1  10547  bcn2p1  10548  binomlem  11284  bcxmas  11290  ex-bc  13112