ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzuz2 GIF version

Theorem elfzuz2 9838
Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem elfzuz2
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 9829 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
2 eqid 2140 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
32uztrn2 9365 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
41, 3sylbi 120 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481  cfv 5129  (class class class)co 5780  cuz 9348  ...cfz 9819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-pre-ltwlin 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-neg 7958  df-z 9077  df-uz 9349  df-fz 9820
This theorem is referenced by:  elfzle3  9839  elfzubelfz  9845  fzm  9847  fzopth  9870  elfzmlbm  9937  elfzom1elp1fzo  10008  iseqf1olemqk  10296  bcm1k  10536  bcpasc  10542  seq3coll  10615
  Copyright terms: Public domain W3C validator