Theorem elfzle2 9984

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9978	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9499	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   <_ cle 7955   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9991  fzdisj  10008  fznatpl1  10032  fzp1disj  10036  uzdisj  10049  fzneuz  10057  fznuz  10058  elfzmlbm  10087  difelfznle  10091  nn0disj  10094  iseqf1olemqcl  10442  iseqf1olemnab  10444  iseqf1olemab  10445  iseqf1olemqk  10450  iseqf1olemfvp  10453  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3f1olemqsumk  10455  seq3f1olemqsum  10456  seq3f1oleml  10459  seq3f1o  10460  bcval4  10686  bcp1nk  10696  zfz1isolemiso  10774  seq3coll  10777  summodclem3  11343  summodclem2a  11344  fsum3  11350  fsumcl2lem  11361  fsum0diaglem  11403  mertenslemi1  11498  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  fprodseq  11546  fzm1ndvds  11816  prmind2  12074  prmdvdsfz  12093  isprm5lem  12095  hashdvds  12175  eulerthlemrprm  12183  eulerthlema  12184  prmdiveq  12190  ennnfonelemim  12379  ctinfomlemom  12382  lgsval2lem  13705  supfz  14100