Theorem elfzle2 10432

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10425	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9934	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   <_ cle 8361   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  elfz1eq  10439  fzdisj  10457  fznatpl1  10483  fzp1disj  10487  uzdisj  10500  fzneuz  10508  fznuz  10509  elfzmlbm  10538  difelfznle  10542  nn0disj  10545  infssfzcldc  10669  infssfzledc  10670  iseqf1olemqcl  10936  iseqf1olemnab  10938  iseqf1olemab  10939  iseqf1olemqk  10944  iseqf1olemfvp  10947  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsumk  10949  seq3f1olemqsum  10950  seq3f1oleml  10953  seq3f1o  10954  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  seqfeq4g  10968  bcval4  11190  bcp1nk  11200  bcm1n  11207  hashf1  11287  zfz1isolemiso  11291  seq3coll  11294  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  fsum3  12154  fsumcl2lem  12165  fsum0diaglem  12207  mertenslemi1  12302  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  fprodseq  12350  fzm1ndvds  12623  prmind2  12898  prmdvdsfz  12917  isprm5lem  12919  hashdvds  12999  eulerthlemrprm  13007  eulerthlema  13008  prmdiveq  13014  4sqlem11  13180  4sqlem12  13181  ballotfilemimin  13249  ballotfilemsdom  13255  ballotfilemsel1i  13256  ballotfilemsima  13259  ballotfilemfrceq  13272  ballotfilemfrcn0  13273  ennnfonelemim  13315  ctinfomlemom  13318  gzsumshift  14149  birthdaylem2  16088  birthdaylem3  16089  wilthlem1  16094  lgsval2lem  16129  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem3  16191  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  2lgslem1a  16207  supfz  17121