Theorem elfzle2 10046

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10040	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9558	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   <_ cle 8011   ZZ>=cuz 9546   ...cfz 10026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-neg 8149  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10053  fzdisj  10070  fznatpl1  10094  fzp1disj  10098  uzdisj  10111  fzneuz  10119  fznuz  10120  elfzmlbm  10149  difelfznle  10153  nn0disj  10156  iseqf1olemqcl  10504  iseqf1olemnab  10506  iseqf1olemab  10507  iseqf1olemqk  10512  iseqf1olemfvp  10515  seq3f1olemqsumkj  10516  seq3f1olemqsumk  10517  seq3f1olemqsum  10518  seq3f1oleml  10521  seq3f1o  10522  bcval4  10750  bcp1nk  10760  zfz1isolemiso  10837  seq3coll  10840  summodclem3  11406  summodclem2a  11407  fsum3  11413  fsumcl2lem  11424  fsum0diaglem  11466  mertenslemi1  11561  prodmodclem3  11601  prodmodclem2a  11602  fprodseq  11609  fzm1ndvds  11880  prmind2  12138  prmdvdsfz  12157  isprm5lem  12159  hashdvds  12239  eulerthlemrprm  12247  eulerthlema  12248  prmdiveq  12254  ennnfonelemim  12443  ctinfomlemom  12446  lgsval2lem  14808  lgseisenlem1  14847  lgseisenlem2  14848  supfz  15217