Theorem elfzle2 10041

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10035	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9553	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   <_ cle 8006   ZZ>=cuz 9541   ...cfz 10021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-neg 8144  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10048  fzdisj  10065  fznatpl1  10089  fzp1disj  10093  uzdisj  10106  fzneuz  10114  fznuz  10115  elfzmlbm  10144  difelfznle  10148  nn0disj  10151  iseqf1olemqcl  10499  iseqf1olemnab  10501  iseqf1olemab  10502  iseqf1olemqk  10507  iseqf1olemfvp  10510  seq3f1olemqsumkj  10511  seq3f1olemqsumk  10512  seq3f1olemqsum  10513  seq3f1oleml  10516  seq3f1o  10517  bcval4  10745  bcp1nk  10755  zfz1isolemiso  10832  seq3coll  10835  summodclem3  11401  summodclem2a  11402  fsum3  11408  fsumcl2lem  11419  fsum0diaglem  11461  mertenslemi1  11556  prodmodclem3  11596  prodmodclem2a  11597  fprodseq  11604  fzm1ndvds  11875  prmind2  12133  prmdvdsfz  12152  isprm5lem  12154  hashdvds  12234  eulerthlemrprm  12242  eulerthlema  12243  prmdiveq  12249  ennnfonelemim  12438  ctinfomlemom  12441  lgsval2lem  14638  lgseisenlem1  14677  lgseisenlem2  14678  supfz  15047