Theorem elfzle2 10185

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10179	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9695	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   <_ cle 8143   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10192  fzdisj  10209  fznatpl1  10233  fzp1disj  10237  uzdisj  10250  fzneuz  10258  fznuz  10259  elfzmlbm  10288  difelfznle  10292  nn0disj  10295  iseqf1olemqcl  10681  iseqf1olemnab  10683  iseqf1olemab  10684  iseqf1olemqk  10689  iseqf1olemfvp  10692  seq3f1olemqsumkj  10693  seq3f1olemqsumk  10694  seq3f1olemqsum  10695  seq3f1oleml  10698  seq3f1o  10699  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  seqfeq4g  10713  bcval4  10934  bcp1nk  10944  zfz1isolemiso  11021  seq3coll  11024  summodclem3  11806  summodclem2a  11807  fsum3  11813  fsumcl2lem  11824  fsum0diaglem  11866  mertenslemi1  11961  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  fprodseq  12009  fzm1ndvds  12282  prmind2  12557  prmdvdsfz  12576  isprm5lem  12578  hashdvds  12658  eulerthlemrprm  12666  eulerthlema  12667  prmdiveq  12673  4sqlem11  12839  4sqlem12  12840  ennnfonelemim  12910  ctinfomlemom  12913  gsumfzfsumlemm  14464  wilthlem1  15567  lgsval2lem  15602  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  2lgslem1a  15680  supfz  16212