Theorem elfzle2 9998

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9992	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9513	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   <_ cle 7967   ZZ>=cuz 9501   ...cfz 9979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-neg 8105  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10005  fzdisj  10022  fznatpl1  10046  fzp1disj  10050  uzdisj  10063  fzneuz  10071  fznuz  10072  elfzmlbm  10101  difelfznle  10105  nn0disj  10108  iseqf1olemqcl  10456  iseqf1olemnab  10458  iseqf1olemab  10459  iseqf1olemqk  10464  iseqf1olemfvp  10467  seq3f1olemqsumkj  10468  seq3f1olemqsumk  10469  seq3f1olemqsum  10470  seq3f1oleml  10473  seq3f1o  10474  bcval4  10700  bcp1nk  10710  zfz1isolemiso  10787  seq3coll  10790  summodclem3  11356  summodclem2a  11357  fsum3  11363  fsumcl2lem  11374  fsum0diaglem  11416  mertenslemi1  11511  prodmodclem3  11551  prodmodclem2a  11552  fprodseq  11559  fzm1ndvds  11829  prmind2  12087  prmdvdsfz  12106  isprm5lem  12108  hashdvds  12188  eulerthlemrprm  12196  eulerthlema  12197  prmdiveq  12203  ennnfonelemim  12392  ctinfomlemom  12395  lgsval2lem  13982  supfz  14377