Theorem elfzle2 9649

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9644	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9188	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1448   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   <_ cle 7673   ZZ>=cuz 9176   ...cfz 9631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-neg 7807  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9656  fzdisj  9673  fznatpl1  9697  fzp1disj  9701  uzdisj  9714  fzneuz  9722  fznuz  9723  elfzmlbm  9749  difelfznle  9753  nn0disj  9756  iseqf1olemqcl  10100  iseqf1olemnab  10102  iseqf1olemab  10103  iseqf1olemqk  10108  iseqf1olemfvp  10111  seq3f1olemqsumkj  10112  seq3f1olemqsumk  10113  seq3f1olemqsum  10114  seq3f1oleml  10117  seq3f1o  10118  bcval4  10339  bcp1nk  10349  zfz1isolemiso  10423  seq3coll  10426  summodclem3  10988  summodclem2a  10989  fsum3  10995  fsumcl2lem  11006  fsum0diaglem  11048  mertenslemi1  11143  fzm1ndvds  11349  prmind2  11594  prmdvdsfz  11612  hashdvds  11689  ennnfonelemim  11729  ctinfomlemom  11732  supfz  12821