Theorem elfzle2 10325

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10319	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9829	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   <_ cle 8274   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10332  fzdisj  10349  fznatpl1  10373  fzp1disj  10377  uzdisj  10390  fzneuz  10398  fznuz  10399  elfzmlbm  10428  difelfznle  10432  nn0disj  10435  iseqf1olemqcl  10824  iseqf1olemnab  10826  iseqf1olemab  10827  iseqf1olemqk  10832  iseqf1olemfvp  10835  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemqsumk  10837  seq3f1olemqsum  10838  seq3f1oleml  10841  seq3f1o  10842  seqf1oglem1  10844  seqf1oglem2  10845  seqfeq4g  10856  bcval4  11077  bcp1nk  11087  zfz1isolemiso  11166  seq3coll  11169  summodclem3  12021  summodclem2a  12022  fsum3  12028  fsumcl2lem  12039  fsum0diaglem  12081  mertenslemi1  12176  prodmodclem3  12216  prodmodclem2a  12217  fprodseq  12224  fzm1ndvds  12497  prmind2  12772  prmdvdsfz  12791  isprm5lem  12793  hashdvds  12873  eulerthlemrprm  12881  eulerthlema  12882  prmdiveq  12888  4sqlem11  13054  4sqlem12  13055  ennnfonelemim  13125  ctinfomlemom  13128  gsumfzfsumlemm  14683  wilthlem1  15794  lgsval2lem  15829  lgseisenlem1  15889  lgseisenlem2  15890  lgseisenlem3  15891  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  2lgslem1a  15907  supfz  16804  gsumgfsumlem  16812