Theorem elfzle2 9963

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9957	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9478	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   <_ cle 7934   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9970  fzdisj  9987  fznatpl1  10011  fzp1disj  10015  uzdisj  10028  fzneuz  10036  fznuz  10037  elfzmlbm  10066  difelfznle  10070  nn0disj  10073  iseqf1olemqcl  10421  iseqf1olemnab  10423  iseqf1olemab  10424  iseqf1olemqk  10429  iseqf1olemfvp  10432  seq3f1olemqsumkj  10433  seq3f1olemqsumk  10434  seq3f1olemqsum  10435  seq3f1oleml  10438  seq3f1o  10439  bcval4  10665  bcp1nk  10675  zfz1isolemiso  10752  seq3coll  10755  summodclem3  11321  summodclem2a  11322  fsum3  11328  fsumcl2lem  11339  fsum0diaglem  11381  mertenslemi1  11476  prodmodclem3  11516  prodmodclem2a  11517  fprodseq  11524  fzm1ndvds  11794  prmind2  12052  prmdvdsfz  12071  isprm5lem  12073  hashdvds  12153  eulerthlemrprm  12161  eulerthlema  12162  prmdiveq  12168  ennnfonelemim  12357  ctinfomlemom  12360  lgsval2lem  13551  supfz  13947