Theorem elfzle2 10165

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10159	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9675	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2177   class class class wbr 4050   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   <_ cle 8123   ZZ>=cuz 9663   ...cfz 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-neg 8261  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10172  fzdisj  10189  fznatpl1  10213  fzp1disj  10217  uzdisj  10230  fzneuz  10238  fznuz  10239  elfzmlbm  10268  difelfznle  10272  nn0disj  10275  iseqf1olemqcl  10661  iseqf1olemnab  10663  iseqf1olemab  10664  iseqf1olemqk  10669  iseqf1olemfvp  10672  seq3f1olemqsumkj  10673  seq3f1olemqsumk  10674  seq3f1olemqsum  10675  seq3f1oleml  10678  seq3f1o  10679  seqf1oglem1  10681  seqf1oglem2  10682  seqfeq4g  10693  bcval4  10914  bcp1nk  10924  zfz1isolemiso  11001  seq3coll  11004  summodclem3  11761  summodclem2a  11762  fsum3  11768  fsumcl2lem  11779  fsum0diaglem  11821  mertenslemi1  11916  prodmodclem3  11956  prodmodclem2a  11957  fprodseq  11964  fzm1ndvds  12237  prmind2  12512  prmdvdsfz  12531  isprm5lem  12533  hashdvds  12613  eulerthlemrprm  12621  eulerthlema  12622  prmdiveq  12628  4sqlem11  12794  4sqlem12  12795  ennnfonelemim  12865  ctinfomlemom  12868  gsumfzfsumlemm  14419  wilthlem1  15522  lgsval2lem  15557  lgseisenlem1  15617  lgseisenlem2  15618  lgseisenlem3  15619  lgsquadlem1  15624  lgsquadlem2  15625  2lgslem1a  15635  supfz  16145