Theorem elfzle2 10443

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10436	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9944	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   <_ cle 8362   ZZ>=cuz 9931   ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8502  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423

This theorem is used by:  elfz1eq  10450  fzdisj  10468  fznatpl1  10494  fzp1disj  10498  uzdisj  10511  fzneuz  10519  fznuz  10520  elfzmlbm  10549  difelfznle  10553  nn0disj  10556  infssfzcldc  10680  infssfzledc  10681  iseqf1olemqcl  10951  iseqf1olemnab  10953  iseqf1olemab  10954  iseqf1olemqk  10959  iseqf1olemfvp  10962  seq3f1olemqsumkj  10963  seq3f1olemqsumk  10964  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1oleml  10968  seq3f1o  10969  seqf1oglem1  10971  seqf1oglem2  10972  seqfeq4g  10983  bcval4  11206  bcp1nk  11216  bcm1n  11223  hashf1  11303  zfz1isolemiso  11307  seq3coll  11310  summodclem3  12166  summodclem2a  12167  fsum3  12173  fsumcl2lem  12184  fsum0diaglem  12226  mertenslemi1  12321  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  fprodseq  12369  fzm1ndvds  12642  prmind2  12917  prmdvdsfz  12937  isprm5lem  12939  hashdvds  13022  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  prmdiveq  13037  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  ballotfilemimin  13301  ballotfilemsdom  13307  ballotfilemsel1i  13308  ballotfilemsima  13311  ballotfilemfrceq  13324  ballotfilemfrcn0  13325  ennnfonelemim  13367  ctinfomlemom  13370  gzsumshift  14233  birthdaylem2  16187  birthdaylem3  16188  wilthlem1  16193  ppiprm  16220  chtprm  16222  lgsval2lem  16295  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  2lgslem1a  16373  supfz  17288