Theorem elfzle2 10415

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10408	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9917	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   <_ cle 8355   ZZ>=cuz 9904   ...cfz 10394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-neg 8494  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is used by:  elfz1eq  10422  fzdisj  10440  fznatpl1  10466  fzp1disj  10470  uzdisj  10483  fzneuz  10491  fznuz  10492  elfzmlbm  10521  difelfznle  10525  nn0disj  10528  infssfzcldc  10652  infssfzledc  10653  iseqf1olemqcl  10919  iseqf1olemnab  10921  iseqf1olemab  10922  iseqf1olemqk  10927  iseqf1olemfvp  10930  seq3f1olemqsumkj  10931  seq3f1olemqsumk  10932  seq3f1olemqsum  10933  seq3f1oleml  10936  seq3f1o  10937  seqf1oglem1  10939  seqf1oglem2  10940  seqfeq4g  10951  bcval4  11173  bcp1nk  11183  bcm1n  11190  hashf1  11270  zfz1isolemiso  11274  seq3coll  11277  summodclem3  12130  summodclem2a  12131  fsum3  12137  fsumcl2lem  12148  fsum0diaglem  12190  mertenslemi1  12285  prodmodclem3  12325  prodmodclem2a  12326  fprodseq  12333  fzm1ndvds  12606  prmind2  12881  prmdvdsfz  12900  isprm5lem  12902  hashdvds  12982  eulerthlemrprm  12990  eulerthlema  12991  prmdiveq  12997  4sqlem11  13163  4sqlem12  13164  ballotfilemimin  13232  ballotfilemsdom  13238  ballotfilemsel1i  13239  ballotfilemsima  13242  ballotfilemfrceq  13255  ballotfilemfrcn0  13256  ennnfonelemim  13298  ctinfomlemom  13301  gzsumshift  14132  birthdaylem2  16071  birthdaylem3  16072  wilthlem1  16077  lgsval2lem  16112  lgseisenlem1  16172  lgseisenlem2  16173  lgseisenlem3  16174  lgsquadlem1  16179  lgsquadlem2  16180  2lgslem1a  16190  supfz  17096