Theorem elfzle2 10224

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	|- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10218	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
2		eluzle 9734	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   <_ cle 8182   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10231  fzdisj  10248  fznatpl1  10272  fzp1disj  10276  uzdisj  10289  fzneuz  10297  fznuz  10298  elfzmlbm  10327  difelfznle  10331  nn0disj  10334  iseqf1olemqcl  10721  iseqf1olemnab  10723  iseqf1olemab  10724  iseqf1olemqk  10729  iseqf1olemfvp  10732  seq3f1olemqsumkj  10733  seq3f1olemqsumk  10734  seq3f1olemqsum  10735  seq3f1oleml  10738  seq3f1o  10739  seqf1oglem1  10741  seqf1oglem2  10742  seqfeq4g  10753  bcval4  10974  bcp1nk  10984  zfz1isolemiso  11061  seq3coll  11064  summodclem3  11891  summodclem2a  11892  fsum3  11898  fsumcl2lem  11909  fsum0diaglem  11951  mertenslemi1  12046  prodmodclem3  12086  prodmodclem2a  12087  fprodseq  12094  fzm1ndvds  12367  prmind2  12642  prmdvdsfz  12661  isprm5lem  12663  hashdvds  12743  eulerthlemrprm  12751  eulerthlema  12752  prmdiveq  12758  4sqlem11  12924  4sqlem12  12925  ennnfonelemim  12995  ctinfomlemom  12998  gsumfzfsumlemm  14551  wilthlem1  15654  lgsval2lem  15689  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  2lgslem1a  15767  supfz  16439