Theorem bcm1k 11021

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1k	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 10263	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2		nnuz 9791	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
4	3	nnnn0d 9454	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN0 )
5	4	faccld 10997	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. NN )
6	5	nncnd 9156	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. CC )
7		fznn0sub 10291	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
8		nn0p1nn 9440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
10	9	nnnn0d 9454	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN0 )
11	10	faccld 10997	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. NN )
12		elfznn 10288	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
13		nnm1nn0 9442	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
14		faccl 10996	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
16	11, 15	nnmulcld 9191	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. NN )
17	16	nncnd 9156	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. CC )
18	9	nncnd 9156	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. CC )
19	12	nncnd 9156	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
20	16	nnap0d 9188	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) # 0 )
21	12	nnap0d 9188	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K # 0 )
22	6, 17, 18, 19, 20, 21	divmuldivapd 9011	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
23		elfzel2 10257	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ZZ )
24	23	zcnd 9602	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
25		1cnd 8194	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
26	24, 19, 25	subsubd 8517	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
27	26	fveq2d 5643	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
28	27	oveq1d 6032	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
29	28	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
30	26	oveq1d 6032	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) )
31	29, 30	oveq12d 6035	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) )
32		facp1 10991	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
33	7, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
34	33	eqcomd 2237	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
35		facnn2 10995	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
36	12, 35	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
37	34, 36	oveq12d 6035	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
38	7	faccld 10997	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
39	38	nncnd 9156	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
40	12	nnnn0d 9454	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN0 )
41	40	faccld 10997	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. NN )
42	41	nncnd 9156	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. CC )
43	39, 42, 18	mul32d 8331	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) )
44	11	nncnd 9156	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. CC )
45	15	nncnd 9156	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. CC )
46	44, 45, 19	mulassd 8202	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
47	37, 43, 46	3eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) )
48	47	oveq2d 6033	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
49	22, 31, 48	3eqtr4d 2274	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) )
50	6, 18	mulcomd 8200	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) )
51	38, 41	nnmulcld 9191	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
52	51	nncnd 9156	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. CC )
53	52, 18	mulcomd 8200	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
54	50, 53	oveq12d 6035	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
55	51	nnap0d 9188	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) # 0 )
56	9	nnap0d 9188	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) # 0 )
57	6, 52, 18, 55, 56	divcanap5d 8996	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
58	49, 54, 57	3eqtrrd 2269	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
59		0p1e1 9256	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
60	59	oveq1i 6027	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
61		0z 9489	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
62		fzp1ss 10307	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N )
64	60, 63	eqsstrri 3260	. . . 4 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
65	64	sseli 3223	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
66		bcval2 11011	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
67	65, 66	syl 14	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
68		ax-1cn 8124	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
69		npcan 8387	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
70	24, 68, 69	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
71		peano2zm 9516	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
72		uzid 9769	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
73		peano2uz 9816	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
74	23, 71, 72, 73	4syl 18	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
75	70, 74	eqeltrrd 2309	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
76		fzss2 10298	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
78		elfzmlbm 10365	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
79	77, 78	sseldd 3228	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
80		bcval2 11011	. . . 4 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
81	79, 80	syl 14	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
82	81	oveq1d 6032	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
83	58, 67, 82	3eqtr4d 2274	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   - cmin 8349   / cdiv 8851   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   !cfa 10986   _C cbc 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-fz 10243  df-seqfrec 10709  df-fac 10987  df-bc 11009

This theorem is referenced by:  bcp1nk  11023  bcpasc  11027