ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcm1k Unicode version

Theorem bcm1k 10903
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with  K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 10150 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 nnuz 9683 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2eleqtrrdi 2298 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 9347 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
54faccld 10879 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
65nncnd 9049 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
7 fznn0sub 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
8 nn0p1nn 9333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
97, 8syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN )
109nnnn0d 9347 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  NN0 )
1110faccld 10879 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  NN )
12 elfznn 10175 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
13 nnm1nn0 9335 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
14 faccl 10878 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  e.  NN )
1512, 13, 143syl 17 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  NN )
1611, 15nnmulcld 9084 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  NN )
1716nncnd 9049 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  e.  CC )
189nncnd 9049 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  CC )
1912nncnd 9049 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  CC )
2016nnap0d 9081 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) #  0 )
2112nnap0d 9081 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K #  0 )
226, 17, 18, 19, 20, 21divmuldivapd 8904 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
23 elfzel2 10144 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
2423zcnd 9495 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  CC )
25 1cnd 8087 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  e.  CC )
2624, 19, 25subsubd 8410 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  ( K  -  1 ) )  =  ( ( N  -  K )  +  1 ) )
2726fveq2d 5579 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
2827oveq1d 5958 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )
2928oveq2d 5959 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  ( K  - 
1 ) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) ) )
3026oveq1d 5958 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K ) )
3129, 30oveq12d 5961 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  /  K
) ) )
32 facp1 10873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) )
337, 32syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
3433eqcomd 2210 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
35 facnn2 10877 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
3612, 35syl 14 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  =  ( ( ! `
 ( K  - 
1 ) )  x.  K ) )
3734, 36oveq12d 5961 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  x.  ( ! `
 K ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
387faccld 10879 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  NN )
3938nncnd 9049 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  e.  CC )
4012nnnn0d 9347 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
4140faccld 10879 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
4241nncnd 9049 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
4339, 42, 18mul32d 8224 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  K
) ) )
4411nncnd 9049 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  e.  CC )
4515nncnd 9049 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( ! `  ( K  -  1 ) )  e.  CC )
4644, 45, 19mulassd 8095 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( K  -  1
) )  x.  K
) ) )
4737, 43, 463eqtr4d 2247 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1
) ) )  x.  K ) )
4847oveq2d 5959 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  K )  +  1 ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) )  x.  K
) ) )
4922, 31, 483eqtr4d 2247 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) ) )
506, 18mulcomd 8093 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N
) ) )
5138, 41nnmulcld 9084 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  NN )
5251nncnd 9049 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  e.  CC )
5352, 18mulcomd 8093 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
5450, 53oveq12d 5961 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  /  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) )  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ! `  N ) )  / 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) ) )
5551nnap0d 9081 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) #  0 )
569nnap0d 9081 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 ) #  0 )
576, 52, 18, 55, 56divcanap5d 8889 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( ( N  -  K )  +  1 )  x.  ( ! `  N )
)  /  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  x.  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) ) )
5849, 54, 573eqtrrd 2242 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
59 0p1e1 9149 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6059oveq1i 5953 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
61 0z 9382 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
62 fzp1ss 10194 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
)
6460, 63eqsstrri 3225 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
6564sseli 3188 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ( 0 ... N
) )
66 bcval2 10893 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
6765, 66syl 14 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
68 ax-1cn 8017 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
69 npcan 8280 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7024, 68, 69sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
71 peano2zm 9409 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
72 uzid 9661 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
73 peano2uz 9703 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
7423, 71, 72, 734syl 18 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
7570, 74eqeltrrd 2282 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
76 fzss2 10185 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
7775, 76syl 14 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... N
) )
78 elfzmlbm 10252 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
7977, 78sseldd 3193 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
80 bcval2 10893 . . . 4  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
8179, 80syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( K  - 
1 ) ) ) ) )
8281oveq1d 5958 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( N  _C  ( K  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( K  -  1
) ) )  x.  ( ! `  ( K  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( N  -  ( K  -  1
) )  /  K
) ) )
8358, 67, 823eqtr4d 2247 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N  _C  ( K  -  1
) )  x.  (
( N  -  ( K  -  1 ) )  /  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1372    e. wcel 2175    C_ wss 3165   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   0cc0 7924   1c1 7925    + caddc 7927    x. cmul 7929    - cmin 8242    / cdiv 8744   NNcn 9035   NN0cn0 9294   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   ...cfz 10129   !cfa 10868    _C cbc 10890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-fz 10130  df-seqfrec 10591  df-fac 10869  df-bc 10891
This theorem is referenced by:  bcp1nk  10905  bcpasc  10909
  Copyright terms: Public domain W3C validator