Theorem bcm1k 11012

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1k	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 10254	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2		nnuz 9782	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
4	3	nnnn0d 9445	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN0 )
5	4	faccld 10988	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. NN )
6	5	nncnd 9147	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. CC )
7		fznn0sub 10282	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
8		nn0p1nn 9431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
10	9	nnnn0d 9445	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN0 )
11	10	faccld 10988	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. NN )
12		elfznn 10279	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
13		nnm1nn0 9433	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
14		faccl 10987	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
16	11, 15	nnmulcld 9182	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. NN )
17	16	nncnd 9147	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. CC )
18	9	nncnd 9147	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. CC )
19	12	nncnd 9147	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
20	16	nnap0d 9179	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) # 0 )
21	12	nnap0d 9179	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K # 0 )
22	6, 17, 18, 19, 20, 21	divmuldivapd 9002	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
23		elfzel2 10248	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ZZ )
24	23	zcnd 9593	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
25		1cnd 8185	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
26	24, 19, 25	subsubd 8508	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
27	26	fveq2d 5639	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
28	27	oveq1d 6028	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
29	28	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
30	26	oveq1d 6028	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) )
31	29, 30	oveq12d 6031	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) )
32		facp1 10982	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
33	7, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
34	33	eqcomd 2235	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
35		facnn2 10986	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
36	12, 35	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
37	34, 36	oveq12d 6031	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
38	7	faccld 10988	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
39	38	nncnd 9147	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
40	12	nnnn0d 9445	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN0 )
41	40	faccld 10988	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. NN )
42	41	nncnd 9147	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. CC )
43	39, 42, 18	mul32d 8322	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) )
44	11	nncnd 9147	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. CC )
45	15	nncnd 9147	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. CC )
46	44, 45, 19	mulassd 8193	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
47	37, 43, 46	3eqtr4d 2272	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) )
48	47	oveq2d 6029	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
49	22, 31, 48	3eqtr4d 2272	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) )
50	6, 18	mulcomd 8191	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) )
51	38, 41	nnmulcld 9182	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
52	51	nncnd 9147	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. CC )
53	52, 18	mulcomd 8191	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
54	50, 53	oveq12d 6031	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
55	51	nnap0d 9179	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) # 0 )
56	9	nnap0d 9179	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) # 0 )
57	6, 52, 18, 55, 56	divcanap5d 8987	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
58	49, 54, 57	3eqtrrd 2267	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
59		0p1e1 9247	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
60	59	oveq1i 6023	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
61		0z 9480	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
62		fzp1ss 10298	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N )
64	60, 63	eqsstrri 3258	. . . 4 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
65	64	sseli 3221	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
66		bcval2 11002	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
67	65, 66	syl 14	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
68		ax-1cn 8115	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
69		npcan 8378	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
70	24, 68, 69	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
71		peano2zm 9507	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
72		uzid 9760	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
73		peano2uz 9807	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
74	23, 71, 72, 73	4syl 18	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
75	70, 74	eqeltrrd 2307	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
76		fzss2 10289	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
78		elfzmlbm 10356	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
79	77, 78	sseldd 3226	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
80		bcval2 11002	. . . 4 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
81	79, 80	syl 14	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
82	81	oveq1d 6028	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
83	58, 67, 82	3eqtr4d 2272	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   - cmin 8340   / cdiv 8842   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233   !cfa 10977   _C cbc 10999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-fz 10234  df-seqfrec 10700  df-fac 10978  df-bc 11000

This theorem is referenced by:  bcp1nk  11014  bcpasc  11018