Theorem bcm1k 10506

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1k	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 9809	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2		nnuz 9361	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	eleqtrrdi 2233	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
4	3	nnnn0d 9030	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN0 )
5	4	faccld 10482	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. NN )
6	5	nncnd 8734	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. CC )
7		fznn0sub 9837	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
8		nn0p1nn 9016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
10	9	nnnn0d 9030	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN0 )
11	10	faccld 10482	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. NN )
12		elfznn 9834	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
13		nnm1nn0 9018	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
14		faccl 10481	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
16	11, 15	nnmulcld 8769	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. NN )
17	16	nncnd 8734	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. CC )
18	9	nncnd 8734	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. CC )
19	12	nncnd 8734	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
20	16	nnap0d 8766	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) # 0 )
21	12	nnap0d 8766	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K # 0 )
22	6, 17, 18, 19, 20, 21	divmuldivapd 8592	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
23		elfzel2 9804	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ZZ )
24	23	zcnd 9174	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
25		1cnd 7782	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
26	24, 19, 25	subsubd 8101	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
27	26	fveq2d 5425	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
28	27	oveq1d 5789	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
29	28	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
30	26	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) )
31	29, 30	oveq12d 5792	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) )
32		facp1 10476	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
33	7, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
34	33	eqcomd 2145	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
35		facnn2 10480	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
36	12, 35	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
37	34, 36	oveq12d 5792	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
38	7	faccld 10482	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
39	38	nncnd 8734	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
40	12	nnnn0d 9030	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN0 )
41	40	faccld 10482	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. NN )
42	41	nncnd 8734	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. CC )
43	39, 42, 18	mul32d 7915	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) )
44	11	nncnd 8734	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. CC )
45	15	nncnd 8734	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. CC )
46	44, 45, 19	mulassd 7789	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
47	37, 43, 46	3eqtr4d 2182	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) )
48	47	oveq2d 5790	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
49	22, 31, 48	3eqtr4d 2182	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) )
50	6, 18	mulcomd 7787	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) )
51	38, 41	nnmulcld 8769	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
52	51	nncnd 8734	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. CC )
53	52, 18	mulcomd 7787	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
54	50, 53	oveq12d 5792	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
55	51	nnap0d 8766	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) # 0 )
56	9	nnap0d 8766	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) # 0 )
57	6, 52, 18, 55, 56	divcanap5d 8577	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
58	49, 54, 57	3eqtrrd 2177	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
59		0p1e1 8834	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
60	59	oveq1i 5784	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
61		0z 9065	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
62		fzp1ss 9853	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N )
64	60, 63	eqsstrri 3130	. . . 4 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
65	64	sseli 3093	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
66		bcval2 10496	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
67	65, 66	syl 14	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
68		ax-1cn 7713	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
69		npcan 7971	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
70	24, 68, 69	sylancl 409	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
71		peano2zm 9092	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
72		uzid 9340	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
73		peano2uz 9378	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
74	23, 71, 72, 73	4syl 18	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
75	70, 74	eqeltrrd 2217	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
76		fzss2 9844	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
78		elfzmlbm 9908	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
79	77, 78	sseldd 3098	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
80		bcval2 10496	. . . 4 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
81	79, 80	syl 14	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
82	81	oveq1d 5789	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
83	58, 67, 82	3eqtr4d 2182	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790   !cfa 10471   _C cbc 10493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-fz 9791  df-seqfrec 10219  df-fac 10472  df-bc 10494

This theorem is referenced by:  bcp1nk  10508  bcpasc  10512