Theorem bcm1k 11176

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with K decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1k	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Proof of Theorem bcm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 10412	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2		nnuz 9937	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
4	3	nnnn0d 9599	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN0 )
5	4	faccld 11152	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. NN )
6	5	nncnd 9297	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` N ) e. CC )
7		fznn0sub 10441	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
8		nn0p1nn 9581	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
10	9	nnnn0d 9599	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN0 )
11	10	faccld 11152	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. NN )
12		elfznn 10438	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
13		nnm1nn0 9583	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
14		faccl 11151	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
16	11, 15	nnmulcld 9332	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. NN )
17	16	nncnd 9297	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) e. CC )
18	9	nncnd 9297	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. CC )
19	12	nncnd 9297	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
20	16	nnap0d 9329	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) # 0 )
21	12	nnap0d 9329	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K # 0 )
22	6, 17, 18, 19, 20, 21	divmuldivapd 9152	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
23		elfzel2 10405	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ZZ )
24	23	zcnd 9748	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
25		1cnd 8332	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
26	24, 19, 25	subsubd 8655	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
27	26	fveq2d 5694	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
28	27	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
29	28	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
30	26	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) )
31	29, 30	oveq12d 6093	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( ( N - K ) + 1 ) / K ) ) )
32		facp1 11146	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
33	7, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) )
34	33	eqcomd 2244	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
35		facnn2 11150	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
36	12, 35	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
37	34, 36	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
38	7	faccld 11152	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
39	38	nncnd 9297	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
40	12	nnnn0d 9599	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN0 )
41	40	faccld 11152	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. NN )
42	41	nncnd 9297	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` K ) e. CC )
43	39, 42, 18	mul32d 8469	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` K ) ) )
44	11	nncnd 9297	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) e. CC )
45	15	nncnd 9297	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. CC )
46	44, 45, 19	mulassd 8339	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) = ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) ) )
47	37, 43, 46	3eqtr4d 2281	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) )
48	47	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( ( N - K ) + 1 ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) x. K ) ) )
49	22, 31, 48	3eqtr4d 2281	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) )
50	6, 18	mulcomd 8337	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) )
51	38, 41	nnmulcld 9332	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
52	51	nncnd 9297	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. CC )
53	52, 18	mulcomd 8337	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
54	50, 53	oveq12d 6093	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) x. ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) )
55	51	nnap0d 9329	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) # 0 )
56	9	nnap0d 9329	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) # 0 )
57	6, 52, 18, 55, 56	divcanap5d 9137	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ! ` N ) ) / ( ( ( N - K ) + 1 ) x. ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
58	49, 54, 57	3eqtrrd 2276	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
59		0p1e1 9397	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
60	59	oveq1i 6085	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
61		0z 9634	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
62		fzp1ss 10458	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N )
64	60, 63	eqsstrri 3281	. . . 4 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
65	64	sseli 3244	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
66		bcval2 11166	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
67	65, 66	syl 14	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
68		ax-1cn 8262	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
69		npcan 8525	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
70	24, 68, 69	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
71		peano2zm 9661	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
72		uzid 9915	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
73		peano2uz 9962	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
74	23, 71, 72, 73	4syl 18	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
75	70, 74	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) )
76		fzss2 10448	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( N - 1 ) ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
78		elfzmlbm 10516	. . . . 5 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
79	77, 78	sseldd 3249	. . . 4 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
80		bcval2 11166	. . . 4 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
81	79, 80	syl 14	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
82	81	oveq1d 6090	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - ( K - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
83	58, 67, 82	3eqtr4d 2281	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   !cfa 11141   _C cbc 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-fac 11142  df-bc 11164

This theorem is referenced by:  bcp1nk  11178  bcpasc  11182