Theorem elfzmlbm 10521

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbm	|- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... ( N - M ) ) )

Proof of Theorem elfzmlbm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10407	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		uznn0sub 9937	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K - M ) e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) e. NN0 )
4		elfzuz2 10416	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		uznn0sub 9937	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( N - M ) e. NN0 )
7		elfzelz 10411	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
8	7	zred 9751	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. RR )
9		elfzel2 10409	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
10	9	zred 9751	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. RR )
11		elfzel1 10410	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
12	11	zred 9751	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. RR )
13		elfzle2 10415	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
14	8, 10, 12, 13	lesub1dd 8883	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ ( N - M ) )
15		elfz2nn0 10502	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... ( N - M ) ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ ( K - M ) <_ ( N - M ) ) )
16	3, 6, 14, 15	syl3anbrc 1212	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... ( N - M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   0cc0 8173   <_ cle 8355   - cmin 8491   NN0cn0 9546   ZZ>=cuz 9904   ...cfz 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is referenced by:  fz1fzo0m1  10584  bcm1k  11181  swrdccatin2  11484