ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzmlbm Unicode version

Theorem elfzmlbm 10040
Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzmlbm  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )

Proof of Theorem elfzmlbm
StepHypRef Expression
1 elfzuz 9931 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 uznn0sub 9476 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 )
4 elfzuz2 9938 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 uznn0sub 9476 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
7 elfzelz 9935 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
87zred 9292 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  RR )
9 elfzel2 9933 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
109zred 9292 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  RR )
11 elfzel1 9934 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
1211zred 9292 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  RR )
13 elfzle2 9937 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
148, 10, 12, 13lesub1dd 8441 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  ( N  -  M
) )
15 elfz2nn0 10021 . 2  |-  ( ( K  -  M )  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  <->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  ( N  -  M )
) )
163, 6, 14, 15syl3anbrc 1166 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2128   class class class wbr 3967   ` cfv 5173  (class class class)co 5827   0cc0 7735    <_ cle 7916    - cmin 8051   NN0cn0 9096   ZZ>=cuz 9445   ...cfz 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-ltadd 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920
This theorem is referenced by:  bcm1k  10646
  Copyright terms: Public domain W3C validator