Theorem elfzmlbm 10087

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbm	|- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... ( N - M ) ) )

Proof of Theorem elfzmlbm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9977	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		uznn0sub 9518	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K - M ) e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) e. NN0 )
4		elfzuz2 9985	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		uznn0sub 9518	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( N - M ) e. NN0 )
7		elfzelz 9981	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
8	7	zred 9334	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. RR )
9		elfzel2 9979	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
10	9	zred 9334	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. RR )
11		elfzel1 9980	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
12	11	zred 9334	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. RR )
13		elfzle2 9984	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
14	8, 10, 12, 13	lesub1dd 8480	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ ( N - M ) )
15		elfz2nn0 10068	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... ( N - M ) ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ ( K - M ) <_ ( N - M ) ) )
16	3, 6, 14, 15	syl3anbrc 1176	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... ( N - M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   0cc0 7774   <_ cle 7955   - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  bcm1k  10694