Theorem elfzmlbm 10472

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbm	|- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... ( N - M ) ) )

Proof of Theorem elfzmlbm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10361	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		uznn0sub 9892	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K - M ) e. NN0 )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) e. NN0 )
4		elfzuz2 10369	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		uznn0sub 9892	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( N - M ) e. NN0 )
7		elfzelz 10365	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
8	7	zred 9706	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. RR )
9		elfzel2 10363	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ZZ )
10	9	zred 9706	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. RR )
11		elfzel1 10364	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
12	11	zred 9706	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> M e. RR )
13		elfzle2 10368	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> K <_ N )
14	8, 10, 12, 13	lesub1dd 8840	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) <_ ( N - M ) )
15		elfz2nn0 10453	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... ( N - M ) ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN0 /\ ( K - M ) <_ ( N - M ) ) )
16	3, 6, 14, 15	syl3anbrc 1208	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... ( N - M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   0cc0 8132   <_ cle 8314   - cmin 8449   NN0cn0 9501   ZZ>=cuz 9859   ...cfz 10348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349

This theorem is referenced by:  fz1fzo0m1  10535  bcm1k  11130  swrdccatin2  11429