ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzmlbm Unicode version

Theorem elfzmlbm 10114
Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzmlbm  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )

Proof of Theorem elfzmlbm
StepHypRef Expression
1 elfzuz 10004 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 uznn0sub 9545 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  e.  NN0 )
4 elfzuz2 10012 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 uznn0sub 9545 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
7 elfzelz 10008 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
87zred 9361 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  RR )
9 elfzel2 10006 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
109zred 9361 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  RR )
11 elfzel1 10007 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
1211zred 9361 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  RR )
13 elfzle2 10011 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
148, 10, 12, 13lesub1dd 8505 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  <_  ( N  -  M
) )
15 elfz2nn0 10095 . 2  |-  ( ( K  -  M )  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  <->  ( ( K  -  M )  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0  /\  ( K  -  M )  <_  ( N  -  M )
) )
163, 6, 14, 15syl3anbrc 1181 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  M )  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   0cc0 7799    <_ cle 7980    - cmin 8115   NN0cn0 9162   ZZ>=cuz 9514   ...cfz 9992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-fz 9993
This theorem is referenced by:  bcm1k  10721
  Copyright terms: Public domain W3C validator