Theorem elnn0dc 9528

Description: Membership of an integer in NN0 is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0dc	|- ( N e. ZZ -> DECID N e. NN0 )

Proof of Theorem elnn0dc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9184	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eluzdc 9527	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3	1, 2	mpan 421	. 2 |- ( N e. ZZ -> DECID N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		elnn0uz 9482	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5	4	dcbii 826	. 2 |- (DECID N e. NN0 <-> DECID N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6	3, 5	sylibr 133	1 |- ( N e. ZZ -> DECID N e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 820   e. wcel 2128   ` cfv 5173   0cc0 7735   NN0cn0 9096   ZZcz 9173   ZZ>=cuz 9445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446

This theorem is referenced by:  pclemdc  12179