Theorem pfxclz 11367

Description: Closure of the prefix extractor. This extends pfxclg 11366 from NN0 to ZZ (negative lengths are trivial, resulting in the empty word). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pfxclz	|- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> ( S prefix L ) e. Word A )

Proof of Theorem pfxclz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxclg 11366	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word A )
2	1	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word A )
3		df-ov 6052	. . . 4 |- ( S prefix L ) = ( prefix ` <. S , L >. )
4		opexg 4343	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> <. S , L >. e. _V )
5		opelxp2 4783	. . . . . . 7 |- ( <. S , L >. e. ( _V X. NN0 ) -> L e. NN0 )
6		fnpfx 11365	. . . . . . . 8 |- prefix Fn ( _V X. NN0 )
7	6	fndmi 5455	. . . . . . 7 |- dom prefix = ( _V X. NN0 )
8	5, 7	eleq2s 2327	. . . . . 6 |- ( <. S , L >. e. dom prefix -> L e. NN0 )
9	8	con3i 637	. . . . 5 |- ( -. L e. NN0 -> -. <. S , L >. e. dom prefix )
10		ndmfvg 5700	. . . . 5 |- ( ( <. S , L >. e. _V /\ -. <. S , L >. e. dom prefix ) -> ( prefix ` <. S , L >. ) = (/) )
11	4, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ -. L e. NN0 ) -> ( prefix ` <. S , L >. ) = (/) )
12	3, 11	eqtrid 2277	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ -. L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = (/) )
13		wrd0 11245	. . 3 |- (/) e. Word A
14	12, 13	eqeltrdi 2323	. 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ -. L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word A )
15		elnn0dc 9942	. . . 4 |- ( L e. ZZ -> DECID L e. NN0 )
16		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID L e. NN0 -> ( L e. NN0 \/ -. L e. NN0 ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( L e. ZZ -> ( L e. NN0 \/ -. L e. NN0 ) )
18	17	adantl 277	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> ( L e. NN0 \/ -. L e. NN0 ) )
19	2, 14, 18	mpjaodan 806	1 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> ( S prefix L ) e. Word A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   (/)c0 3507   <.cop 3691   X. cxp 4746   dom cdm 4748   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   NN0cn0 9495   ZZcz 9576  Word cword 11220   prefix cpfx 11360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-ihash 11137  df-word 11221  df-substr 11334  df-pfx 11361

This theorem is referenced by:  wrdind  11410  wrd2ind  11411