Theorem pfxclz 11396

Description: Closure of the prefix extractor. This extends pfxclg 11395 from NN0 to ZZ (negative lengths are trivial, resulting in the empty word). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pfxclz	|- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> ( S prefix L ) e. Word A )

Proof of Theorem pfxclz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxclg 11395	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word A )
2	1	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word A )
3		df-ov 6061	. . . 4 |- ( S prefix L ) = ( prefix ` <. S , L >. )
4		opexg 4349	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> <. S , L >. e. _V )
5		opelxp2 4789	. . . . . . 7 |- ( <. S , L >. e. ( _V X. NN0 ) -> L e. NN0 )
6		fnpfx 11394	. . . . . . . 8 |- prefix Fn ( _V X. NN0 )
7	6	fndmi 5461	. . . . . . 7 |- dom prefix = ( _V X. NN0 )
8	5, 7	eleq2s 2329	. . . . . 6 |- ( <. S , L >. e. dom prefix -> L e. NN0 )
9	8	con3i 637	. . . . 5 |- ( -. L e. NN0 -> -. <. S , L >. e. dom prefix )
10		ndmfvg 5706	. . . . 5 |- ( ( <. S , L >. e. _V /\ -. <. S , L >. e. dom prefix ) -> ( prefix ` <. S , L >. ) = (/) )
11	4, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ -. L e. NN0 ) -> ( prefix ` <. S , L >. ) = (/) )
12	3, 11	eqtrid 2279	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ -. L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = (/) )
13		wrd0 11274	. . 3 |- (/) e. Word A
14	12, 13	eqeltrdi 2325	. 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ -. L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word A )
15		elnn0dc 9961	. . . 4 |- ( L e. ZZ -> DECID L e. NN0 )
16		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID L e. NN0 -> ( L e. NN0 \/ -. L e. NN0 ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( L e. ZZ -> ( L e. NN0 \/ -. L e. NN0 ) )
18	17	adantl 277	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> ( L e. NN0 \/ -. L e. NN0 ) )
19	2, 14, 18	mpjaodan 806	1 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> ( S prefix L ) e. Word A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   <.cop 3697   X. cxp 4752   dom cdm 4754   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   NN0cn0 9513   ZZcz 9594  Word cword 11249   prefix cpfx 11389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-substr 11363  df-pfx 11390

This theorem is referenced by:  wrdind  11439  wrd2ind  11440