Theorem pfxclz 11197

Description: Closure of the prefix extractor. This extends pfxclg 11196 from NN0 to ZZ (negative lengths are trivial, resulting in the empty word). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pfxclz	|- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> ( S prefix L ) e. Word A )

Proof of Theorem pfxclz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxclg 11196	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word A )
2	1	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word A )
3		df-ov 5997	. . . 4 |- ( S prefix L ) = ( prefix ` <. S , L >. )
4		opexg 4313	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> <. S , L >. e. _V )
5		opelxp2 4751	. . . . . . 7 |- ( <. S , L >. e. ( _V X. NN0 ) -> L e. NN0 )
6		fnpfx 11195	. . . . . . . 8 |- prefix Fn ( _V X. NN0 )
7	6	fndmi 5417	. . . . . . 7 |- dom prefix = ( _V X. NN0 )
8	5, 7	eleq2s 2324	. . . . . 6 |- ( <. S , L >. e. dom prefix -> L e. NN0 )
9	8	con3i 635	. . . . 5 |- ( -. L e. NN0 -> -. <. S , L >. e. dom prefix )
10		ndmfvg 5654	. . . . 5 |- ( ( <. S , L >. e. _V /\ -. <. S , L >. e. dom prefix ) -> ( prefix ` <. S , L >. ) = (/) )
11	4, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ -. L e. NN0 ) -> ( prefix ` <. S , L >. ) = (/) )
12	3, 11	eqtrid 2274	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ -. L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) = (/) )
13		wrd0 11083	. . 3 |- (/) e. Word A
14	12, 13	eqeltrdi 2320	. 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) /\ -. L e. NN0 ) -> ( S prefix L ) e. Word A )
15		elnn0dc 9794	. . . 4 |- ( L e. ZZ -> DECID L e. NN0 )
16		exmiddc 841	. . . 4 |- (DECID L e. NN0 -> ( L e. NN0 \/ -. L e. NN0 ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( L e. ZZ -> ( L e. NN0 \/ -. L e. NN0 ) )
18	17	adantl 277	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> ( L e. NN0 \/ -. L e. NN0 ) )
19	2, 14, 18	mpjaodan 803	1 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ZZ ) -> ( S prefix L ) e. Word A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   <.cop 3669   X. cxp 4714   dom cdm 4716   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   NN0cn0 9357   ZZcz 9434  Word cword 11058   prefix cpfx 11190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-ihash 10985  df-word 11059  df-substr 11164  df-pfx 11191

This theorem is referenced by:  wrdind  11240  wrd2ind  11241