Theorem eluzdc 9766

Description: Membership of an integer in an upper set of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eluzdc	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem eluzdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 9452	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
2		eluz 9696	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
3	2	biimprd 158	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
4		zltnle 9453	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
5	4	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
6	2	notbid 669	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N e. ( ZZ>= ` M ) <-> -. M <_ N ) )
7	6	biimprd 158	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N -> -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
8	5, 7	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
9	3, 8	orim12d 788	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ N \/ N < M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
10		df-dc 837	. . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11	9, 10	imbitrrdi 162	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ N \/ N < M ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
12	1, 11	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290   < clt 8142   <_ cle 8143   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  elnn0dc  9767  elnndc  9768  fzneuz  10258  sumdc  11784  summodclem2a  11807  zsumdc  11810  zproddc  12005  nninfdclemcl  12934  nninfdclemp1  12936