ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzdc Unicode version

Theorem eluzdc 9427
Description: Membership of an integer in an upper set of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
eluzdc  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )

Proof of Theorem eluzdc
StepHypRef Expression
1 zlelttric 9119 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  \/  N  <  M ) )
2 eluz 9359 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
32biimprd 157 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
4 zltnle 9120 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
54ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  -.  M  <_  N )
)
62notbid 657 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  -.  M  <_  N )
)
76biimprd 157 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  <_  N  ->  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
85, 7sylbid 149 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  ->  -.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
93, 8orim12d 776 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  N  \/  N  <  M )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  -.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) ) )
10 df-dc 821 . . 3  |-  (DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
119, 10syl6ibr 161 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  N  \/  N  <  M )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) ) )
121, 11mpd 13 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    e. wcel 1481   class class class wbr 3933   ` cfv 5127    < clt 7820    <_ cle 7821   ZZcz 9074   ZZ>=cuz 9346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-ltadd 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-inn 8741  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347
This theorem is referenced by:  fzneuz  9908  sumdc  11155  summodclem2a  11178  zsumdc  11181
  Copyright terms: Public domain W3C validator