Theorem eluzdc 9539

Description: Membership of an integer in an upper set of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eluzdc	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem eluzdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 9227	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
2		eluz 9470	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
3	2	biimprd 157	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
4		zltnle 9228	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
5	4	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
6	2	notbid 657	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N e. ( ZZ>= ` M ) <-> -. M <_ N ) )
7	6	biimprd 157	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N -> -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
8	5, 7	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
9	3, 8	orim12d 776	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ N \/ N < M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
10		df-dc 825	. . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11	9, 10	syl6ibr 161	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ N \/ N < M ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
12	1, 11	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   e. wcel 2135   class class class wbr 3976   ` cfv 5182   < clt 7924   <_ cle 7925   ZZcz 9182   ZZ>=cuz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458

This theorem is referenced by:  elnn0dc  9540  elnndc  9541  fzneuz  10026  sumdc  11285  summodclem2a  11308  zsumdc  11311  zproddc  11506  nninfdclemcl  12320  nninfdclemp1  12322