Theorem eluzdc 9254

Description: Membership of an integer in an upper set of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eluzdc	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem eluzdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 8951	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N \/ N < M ) )
2		eluz 9189	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
3	2	biimprd 157	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
4		zltnle 8952	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
5	4	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> -. M <_ N ) )
6	2	notbid 633	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N e. ( ZZ>= ` M ) <-> -. M <_ N ) )
7	6	biimprd 157	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M <_ N -> -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
8	5, 7	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
9	3, 8	orim12d 741	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ N \/ N < M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
10		df-dc 787	. . 3 |- (DECID N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11	9, 10	syl6ibr 161	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ N \/ N < M ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
12	1, 11	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 670  DECID wdc 786   e. wcel 1448   class class class wbr 3875   ` cfv 5059   < clt 7672   <_ cle 7673   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177

This theorem is referenced by:  fzneuz  9722  sumdc  10966  summodclem2a  10989  zsumdc  10992