Theorem elnnnn0c 9167

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0c	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnnn0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9129	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nnge1 8888	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 8033	. . . . 5 |- 0 < 1
5		nn0re 9131	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6		0re 7907	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 7906	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 7996	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1322	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 428	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 443	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
13		elnnnn0b 9166	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 133	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 125	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762   < clt 7941   <_ cle 7942   NNcn 8865   NN0cn0 9122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5853  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-inn 8866  df-n0 9123

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9182  nn0o1gt2  11851  pcelnn  12261  lgsabs1  13655