Theorem elnnnn0c 9180

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0c	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnnn0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9142	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nnge1 8901	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 8046	. . . . 5 |- 0 < 1
5		nn0re 9144	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6		0re 7920	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 7919	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 8009	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1322	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 428	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 443	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
13		elnnnn0b 9179	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 133	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 125	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   < clt 7954   <_ cle 7955   NNcn 8878   NN0cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9195  nn0o1gt2  11864  pcelnn  12274  lgsabs1  13734