Theorem elnnnn0c 9410

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0c	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnnn0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9372	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nnge1 9129	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 8269	. . . . 5 |- 0 < 1
5		nn0re 9374	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6		0re 8142	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 8141	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 8232	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1361	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 430	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 445	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
13		elnnnn0b 9409	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 134	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 126	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   < clt 8177   <_ cle 8178   NNcn 9106   NN0cn0 9365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-inn 9107  df-n0 9366

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9425  wrdsymb1  11103  lswccats1fst  11170  nn0o1gt2  12411  pcelnn  12839  lgsabs1  15712