Theorem elnnnn0c 9446

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0c	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnnn0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9408	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nnge1 9165	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 8305	. . . . 5 |- 0 < 1
5		nn0re 9410	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6		0re 8178	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 8177	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 8268	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1363	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 430	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 445	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
13		elnnnn0b 9445	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 134	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 126	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   < clt 8213   <_ cle 8214   NNcn 9142   NN0cn0 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-inn 9143  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9461  wrdsymb1  11149  lswccats1fst  11220  nn0o1gt2  12465  pcelnn  12893  lgsabs1  15767