Theorem elnnnn0c 9155

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0c	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnnn0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9117	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		nnge1 8876	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 8021	. . . . 5 |- 0 < 1
5		nn0re 9119	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
6		0re 7895	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 7894	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 7984	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1317	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 427	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 442	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
13		elnnnn0b 9154	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 133	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 125	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   < clt 7929   <_ cle 7930   NNcn 8853   NN0cn0 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-inn 8854  df-n0 9111

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9170  nn0o1gt2  11838  pcelnn  12248  lgsabs1  13540