Theorem elnnnn0b 9338

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9301	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nngt0 9060	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
4		elnn0 9296	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
5		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
6		breq2 4047	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < 0))
7		0re 8071	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	ltnri 8164	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 < 0
9	8	pm2.21i 647	. . . . . 6 ⊢ (0 < 0 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	6, 9	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
11	5, 10	jaoi 717	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
12	4, 11	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
13	12	imp 124	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	3, 13	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  0cc0 7924   < clt 8106  ℕcn 9035  ℕ₀cn0 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-inn 9036  df-n0 9295

This theorem is referenced by:  elnnnn0c  9339  bccl2  10911  ccatfv0  11057  bezoutlemmain  12261