Theorem elnnnn0b 9586

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9549	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nngt0 9308	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
4		elnn0 9544	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
5		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
6		breq2 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < 0))
7		0re 8316	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	ltnri 8408	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 < 0
9	8	pm2.21i 655	. . . . . 6 ⊢ (0 < 0 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	6, 9	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
11	5, 10	jaoi 728	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
12	4, 11	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
13	12	imp 124	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	3, 13	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  0cc0 8169   < clt 8350  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-inn 9284  df-n0 9543

This theorem is referenced by:  elnnnn0c  9587  nn0p1elfzo  10572  bccl2  11184  ccatfv0  11349  ccat2s1fvwd  11393  swrdswrd  11455  bezoutlemmain  12753