ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnnn0b GIF version

Theorem elnnnn0b 9223
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0b (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0b
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9186 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nngt0 8947 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
31, 2jca 306 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
4 elnn0 9181 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
5 ax-1 6 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
6 breq2 4009 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < 0))
7 0re 7960 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
87ltnri 8053 . . . . . . 7 ¬ 0 < 0
98pm2.21i 646 . . . . . 6 (0 < 0 → 𝑁 ∈ ℕ)
106, 9biimtrdi 163 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
115, 10jaoi 716 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
124, 11sylbi 121 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1312imp 124 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
143, 13impbii 126 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4005  0cc0 7814   < clt 7995  cn 8922  0cn0 9179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5881  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-inn 8923  df-n0 9180
This theorem is referenced by:  elnnnn0c  9224  bccl2  10751  bezoutlemmain  12002
  Copyright terms: Public domain W3C validator