Theorem elnnnn0b 8815

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 8778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nngt0 8545	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3	1, 2	jca 301	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
4		elnn0 8773	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
5		ax-1 5	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
6		breq2 3871	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 ↔ 0 < 0))
7		0re 7585	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	ltnri 7674	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 < 0
9	8	pm2.21i 613	. . . . . 6 ⊢ (0 < 0 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	6, 9	syl6bi 162	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
11	5, 10	jaoi 674	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
12	4, 11	sylbi 120	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
13	12	imp 123	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	3, 13	impbii 125	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 667   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  0cc0 7447   < clt 7619  ℕcn 8520  ℕ₀cn0 8771

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-cnv 4475  df-iota 5014  df-fv 5057  df-ov 5693  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-inn 8521  df-n0 8772

This theorem is referenced by:  elnnnn0c  8816  bccl2  10307  bezoutlemmain  11430