Theorem bezoutlemmain 12753

Description: Lemma for Bézout's identity. This is the main result which we prove by induction and which represents the application of the Extended Euclidean algorithm. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.is-bezout	|- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
bezout.sub-gcd	|- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
bezout.a	|- ( th -> A e. NN0 )
bezout.b	|- ( th -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmain	|- ( th -> A. x e. NN0 ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, s, t, x, y, z   ps, s, t, z   s, r, t, x, y, z, th   A, r, s, t   B, r, s, t

Allowed substitution hints:   ph( r)   ps( x, y, r)   A( x, y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemmain

Dummy variables a w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbequ 1893	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( [ w / r ] ph <-> [ z / r ] ph ) )
2	1	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( ( th /\ [ w / r ] ph ) <-> ( th /\ [ z / r ] ph ) ) )
3		sbequ 1893	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( [ w / x ] ps <-> [ z / x ] ps ) )
4	3	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
5	4	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
7	6	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
8	2, 7	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = z -> ( ( ( th /\ [ w / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) <-> ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) )
9		sbequ 1893	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( [ w / r ] ph <-> [ x / r ] ph ) )
10	9	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( th /\ [ w / r ] ph ) <-> ( th /\ [ x / r ] ph ) ) )
11		sbequ12r 1825	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( [ w / x ] ps <-> ps ) )
12	11	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( ps /\ ph ) ) )
13	12	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
15	14	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
16	10, 15	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( ( th /\ [ w / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) <-> ( ( th /\ [ x / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) ) )
17		nfv 1581	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y w e. NN0
18		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ( 0 ... ( w - 1 ) )
19		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( th /\ [ z / r ] ph )
20		nfra1 2581	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
21	19, 20	nfim 1625	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
22	18, 21	nfralxy 2588	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
23	17, 22	nfan 1618	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
24		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( th /\ [ w / r ] ph )
25	23, 24	nfan 1618	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) )
26		nfv 1581	. . . . . . . . 9 |- F/ y w = 0
27	25, 26	nfan 1618	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 )
28		simplr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> y e. NN0 )
29		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ r A. z e. NN0 ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) )
30		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = y -> ( z || r <-> z || y ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = y -> ( ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) <-> ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
32	31	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = y -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
33	29, 32	sbie 1844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ y / r ] A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
34		nn0z 9643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN0 -> z e. ZZ )
35		dvds0 12551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ZZ -> z || 0 )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN0 -> z || 0 )
37	36	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN0 -> ( z || y <-> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
38	37	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN0 -> ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
39	33, 38	mprgbir 2608	. . . . . . . . . . . 12 |- [ y / r ] A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) )
40		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ r w = 0
41		dfsbcq2 3054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = 0 -> ( [ w / x ] ps <-> [. 0 / x ]. ps ) )
42		bezout.sub-gcd	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
43	42	sbcbii 3111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. 0 / x ]. ps <-> [. 0 / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
44		c0ex 8310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
45		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( z || x <-> z || 0 ) )
46	45	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
47	46	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 0 -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
48	47	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
49	44, 48	sbcie 3086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. 0 / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
50	43, 49	bitri 184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. 0 / x ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
51	41, 50	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = 0 -> ( [ w / x ] ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
52	40, 51	sbbid 1899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = 0 -> ( [ y / r ] [ w / x ] ps <-> [ y / r ] A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
53	39, 52	mpbiri 168	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = 0 -> [ y / r ] [ w / x ] ps )
54	53	ad3antlr 497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [ y / r ] [ w / x ] ps )
55		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [ y / r ] ph )
56		nfs1v 1999	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ r [ y / r ] [ w / x ] ps
57		nfs1v 1999	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ r [ y / r ] ph
58	56, 57	nfan 1618	. . . . . . . . . . 11 |- F/ r ( [ y / r ] [ w / x ] ps /\ [ y / r ] ph )
59		sbequ12 1824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = y -> ( [ w / x ] ps <-> [ y / r ] [ w / x ] ps ) )
60		sbequ12 1824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = y -> ( ph <-> [ y / r ] ph ) )
61	59, 60	anbi12d 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = y -> ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( [ y / r ] [ w / x ] ps /\ [ y / r ] ph ) ) )
62	58, 61	rspce 2924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( [ y / r ] [ w / x ] ps /\ [ y / r ] ph ) ) -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) )
63	28, 54, 55, 62	syl12anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) )
64	63	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) -> ( y e. NN0 -> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) )
65	27, 64	ralrimi 2621	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) )
66		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 |- F/ y 0 < w
67	25, 66	nfan 1618	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w )
68		bezout.is-bezout	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
69		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> th )
70		bezout.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( th -> A e. NN0 )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> A e. NN0 )
72	71	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> A e. NN0 )
73		bezout.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( th -> B e. NN0 )
74	69, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> B e. NN0 )
75	74	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> B e. NN0 )
76		simplll 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> w e. NN0 )
77		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> 0 < w )
78		elnnnn0b 9586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN <-> ( w e. NN0 /\ 0 < w ) )
79	76, 77, 78	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> w e. NN )
80	79	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> w e. NN )
81		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [ y / r ] ph )
82		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> y e. NN0 )
83		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> [ w / r ] ph )
84		sbsbc 3055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ w / r ] ph <-> [. w / r ]. ph )
85	83, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> [. w / r ]. ph )
86	85	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [. w / r ]. ph )
87		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = a -> ( z || r <-> a || r ) )
88		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = a -> ( z || x <-> a || x ) )
89		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = a -> ( z || y <-> a || y ) )
90	88, 89	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = a -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( a || x /\ a || y ) ) )
91	87, 90	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = a -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( a || r -> ( a || x /\ a || y ) ) ) )
92	91	cbvralv 2786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. a e. NN0 ( a || r -> ( a || x /\ a || y ) ) )
93	42, 92	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps <-> A. a e. NN0 ( a || r -> ( a || x /\ a || y ) ) )
94	69	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> th )
95		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> [. ( y mod w ) / r ]. ph )
96	94, 95	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) )
97	83	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> [ w / r ] ph )
98		dfsbcq2 3054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y mod w ) -> ( [ z / r ] ph <-> [. ( y mod w ) / r ]. ph ) )
99	98	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( th /\ [ z / r ] ph ) <-> ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) ) )
100		sbsbc 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ps <-> [. z / x ]. [ w / y ] ps )
101		sbsbc 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( [ w / y ] ps <-> [. w / y ]. ps )
102	101	sbcbii 3111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. z / x ]. [ w / y ] ps <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
103	100, 102	bitri 184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ps <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
104	103	anbi1i 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) )
105		dfsbcq 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y mod w ) -> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ps <-> [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps ) )
106	105	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( [. z / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) <-> ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) )
107	104, 106	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) <-> ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) )
108	107	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y mod w ) -> ( E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) )
109	108	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) ) )
110	99, 109	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) <-> ( ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) ) ) )
111		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) )
112		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
113	112	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
114		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y [ w / r ] ph
115		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ y NN0
116		nfs1v 1999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ y [ w / y ] ps
117	116	nfsbxy 2002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ y [ z / x ] [ w / y ] ps
118		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ y ph
119	117, 118	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ y ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph )
120	115, 119	nfrexw 2589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph )
121	114, 120	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ y ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) )
122		sbequ 1893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( [ y / r ] ph <-> [ w / r ] ph ) )
123		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ x y = w
124		sbequ12 1824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = w -> ( ps <-> [ w / y ] ps ) )
125	123, 124	sbbid 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = w -> ( [ z / x ] ps <-> [ z / x ] [ w / y ] ps ) )
126	125	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = w -> ( ( [ z / x ] ps /\ ph ) <-> ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) )
127	126	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) )
128	122, 127	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = w -> ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
129	121, 128	rspc 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. NN0 -> ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
130	129	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. NN0 -> ( ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) ) )
131	130	ralimdv 2618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. NN0 -> ( A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) ) )
132	131	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) ) )
133	113, 132	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
134	111, 133	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
135		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> y e. NN0 )
136	135	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> y e. ZZ )
137	79	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> w e. NN )
138		zmodfz 10761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( y mod w ) e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) )
139	136, 137, 138	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( y mod w ) e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) )
140	110, 134, 139	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) ) )
141	96, 97, 140	mp2d 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) )
142		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w e. NN0
143		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( 0 ... ( w - 1 ) )
144		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( th /\ [ z / r ] ph )
145		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x NN0
146		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x ph
147	146	nfsbxy 2002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x [ y / r ] ph
148		nfs1v 1999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ x [ z / x ] ps
149	148, 146	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x ( [ z / x ] ps /\ ph )
150	145, 149	nfrexw 2589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph )
151	147, 150	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
152	145, 151	nfralxy 2588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
153	144, 152	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
154	143, 153	nfralxy 2588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
155	142, 154	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
156		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( th /\ [ w / r ] ph )
157	155, 156	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) )
158		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x 0 < w
159	157, 158	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w )
160		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x y e. NN0
161	159, 160	nfan 1618	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 )
162	161, 147	nfan 1618	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph )
163		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ r w e. NN0
164		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ r ( 0 ... ( w - 1 ) )
165		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ r th
166		nfs1v 1999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ r [ z / r ] ph
167	165, 166	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ r ( th /\ [ z / r ] ph )
168		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ r NN0
169		nfre1 2593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ r E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph )
170	57, 169	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ r ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
171	168, 170	nfralxy 2588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ r A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
172	167, 171	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ r ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
173	164, 172	nfralxy 2588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ r A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
174	163, 173	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ r ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
175		nfs1v 1999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ r [ w / r ] ph
176	165, 175	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ r ( th /\ [ w / r ] ph )
177	174, 176	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ r ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) )
178		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ r 0 < w
179	177, 178	nfan 1618	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ r ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w )
180		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ r y e. NN0
181	179, 180	nfan 1618	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ r ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 )
182	181, 57	nfan 1618	. . . . . . . . . . 11 |- F/ r ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph )
183	68, 72, 75, 80, 81, 82, 86, 93, 141, 162, 182	bezoutlemstep 12752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) )
184	183	exp31 364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> ( y e. NN0 -> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) ) )
185	67, 184	ralrimi 2621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) )
186		sbsbc 3055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w / x ] ps <-> [. w / x ]. ps )
187	186	anbi1i 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( [. w / x ]. ps /\ ph ) )
188	187	rexbii 2557	. . . . . . . . . 10 |- ( E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) )
189	188	imbi2i 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) )
190	189	ralbii 2556	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) )
191	185, 190	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) )
192		nn0nlt0 9568	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> -. w < 0 )
193		nn0z 9643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN0 -> w e. ZZ )
194		ztri3or0 9665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ZZ -> ( w < 0 \/ w = 0 \/ 0 < w ) )
195	193, 194	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. NN0 -> ( w < 0 \/ w = 0 \/ 0 < w ) )
196		3orass 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w < 0 \/ w = 0 \/ 0 < w ) <-> ( w < 0 \/ ( w = 0 \/ 0 < w ) ) )
197	195, 196	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN0 -> ( w < 0 \/ ( w = 0 \/ 0 < w ) ) )
198	197	orcomd 741	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> ( ( w = 0 \/ 0 < w ) \/ w < 0 ) )
199	192, 198	ecased 1390	. . . . . . . 8 |- ( w e. NN0 -> ( w = 0 \/ 0 < w ) )
200	199	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) -> ( w = 0 \/ 0 < w ) )
201	65, 191, 200	mpjaodan 810	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) )
202	201	exp31 364	. . . . 5 |- ( w e. NN0 -> ( A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> ( ( th /\ [ w / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) ) )
203	8, 16, 202	nn0sinds 10861	. . . 4 |- ( x e. NN0 -> ( ( th /\ [ x / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
204	203	expd 258	. . 3 |- ( x e. NN0 -> ( th -> ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) ) )
205	204	impcom 125	. 2 |- ( ( th /\ x e. NN0 ) -> ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
206	205	ralrimiva 2623	1 |- ( th -> A. x e. NN0 ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   [wsb 1815   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   [.wsbc 3051   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   - cmin 8487   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ...cfz 10390   mod cmo 10737   || cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  12756