Theorem bezoutlemmain 12261

Description: Lemma for Bézout's identity. This is the main result which we prove by induction and which represents the application of the Extended Euclidean algorithm. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.is-bezout	|- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
bezout.sub-gcd	|- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
bezout.a	|- ( th -> A e. NN0 )
bezout.b	|- ( th -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmain	|- ( th -> A. x e. NN0 ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, s, t, x, y, z   ps, s, t, z   s, r, t, x, y, z, th   A, r, s, t   B, r, s, t

Allowed substitution hints:   ph( r)   ps( x, y, r)   A( x, y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemmain

Dummy variables a w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbequ 1862	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( [ w / r ] ph <-> [ z / r ] ph ) )
2	1	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( ( th /\ [ w / r ] ph ) <-> ( th /\ [ z / r ] ph ) ) )
3		sbequ 1862	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( [ w / x ] ps <-> [ z / x ] ps ) )
4	3	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
5	4	rexbidv 2506	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
7	6	ralbidv 2505	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
8	2, 7	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = z -> ( ( ( th /\ [ w / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) <-> ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) )
9		sbequ 1862	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( [ w / r ] ph <-> [ x / r ] ph ) )
10	9	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( th /\ [ w / r ] ph ) <-> ( th /\ [ x / r ] ph ) ) )
11		sbequ12r 1794	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( [ w / x ] ps <-> ps ) )
12	11	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( ps /\ ph ) ) )
13	12	rexbidv 2506	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
15	14	ralbidv 2505	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
16	10, 15	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( ( th /\ [ w / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) <-> ( ( th /\ [ x / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) ) )
17		nfv 1550	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y w e. NN0
18		nfcv 2347	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ( 0 ... ( w - 1 ) )
19		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( th /\ [ z / r ] ph )
20		nfra1 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
21	19, 20	nfim 1594	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
22	18, 21	nfralxy 2543	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
23	17, 22	nfan 1587	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
24		nfv 1550	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( th /\ [ w / r ] ph )
25	23, 24	nfan 1587	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) )
26		nfv 1550	. . . . . . . . 9 |- F/ y w = 0
27	25, 26	nfan 1587	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 )
28		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> y e. NN0 )
29		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ r A. z e. NN0 ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) )
30		breq2 4047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = y -> ( z || r <-> z || y ) )
31	30	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = y -> ( ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) <-> ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
32	31	ralbidv 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = y -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
33	29, 32	sbie 1813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ y / r ] A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
34		nn0z 9391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN0 -> z e. ZZ )
35		dvds0 12059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ZZ -> z || 0 )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN0 -> z || 0 )
37	36	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN0 -> ( z || y <-> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
38	37	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN0 -> ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
39	33, 38	mprgbir 2563	. . . . . . . . . . . 12 |- [ y / r ] A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) )
40		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ r w = 0
41		dfsbcq2 3000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = 0 -> ( [ w / x ] ps <-> [. 0 / x ]. ps ) )
42		bezout.sub-gcd	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
43	42	sbcbii 3057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. 0 / x ]. ps <-> [. 0 / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
44		c0ex 8065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
45		breq2 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( z || x <-> z || 0 ) )
46	45	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
47	46	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 0 -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
48	47	ralbidv 2505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
49	44, 48	sbcie 3032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. 0 / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
50	43, 49	bitri 184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. 0 / x ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
51	41, 50	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = 0 -> ( [ w / x ] ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
52	40, 51	sbbid 1868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = 0 -> ( [ y / r ] [ w / x ] ps <-> [ y / r ] A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
53	39, 52	mpbiri 168	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = 0 -> [ y / r ] [ w / x ] ps )
54	53	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [ y / r ] [ w / x ] ps )
55		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [ y / r ] ph )
56		nfs1v 1966	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ r [ y / r ] [ w / x ] ps
57		nfs1v 1966	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ r [ y / r ] ph
58	56, 57	nfan 1587	. . . . . . . . . . 11 |- F/ r ( [ y / r ] [ w / x ] ps /\ [ y / r ] ph )
59		sbequ12 1793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = y -> ( [ w / x ] ps <-> [ y / r ] [ w / x ] ps ) )
60		sbequ12 1793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = y -> ( ph <-> [ y / r ] ph ) )
61	59, 60	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = y -> ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( [ y / r ] [ w / x ] ps /\ [ y / r ] ph ) ) )
62	58, 61	rspce 2871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( [ y / r ] [ w / x ] ps /\ [ y / r ] ph ) ) -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) )
63	28, 54, 55, 62	syl12anc 1247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) )
64	63	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) -> ( y e. NN0 -> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) )
65	27, 64	ralrimi 2576	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) )
66		nfv 1550	. . . . . . . . . 10 |- F/ y 0 < w
67	25, 66	nfan 1587	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w )
68		bezout.is-bezout	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
69		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> th )
70		bezout.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( th -> A e. NN0 )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> A e. NN0 )
72	71	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> A e. NN0 )
73		bezout.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( th -> B e. NN0 )
74	69, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> B e. NN0 )
75	74	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> B e. NN0 )
76		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> w e. NN0 )
77		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> 0 < w )
78		elnnnn0b 9338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN <-> ( w e. NN0 /\ 0 < w ) )
79	76, 77, 78	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> w e. NN )
80	79	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> w e. NN )
81		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [ y / r ] ph )
82		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> y e. NN0 )
83		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> [ w / r ] ph )
84		sbsbc 3001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ w / r ] ph <-> [. w / r ]. ph )
85	83, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> [. w / r ]. ph )
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [. w / r ]. ph )
87		breq1 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = a -> ( z || r <-> a || r ) )
88		breq1 4046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = a -> ( z || x <-> a || x ) )
89		breq1 4046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = a -> ( z || y <-> a || y ) )
90	88, 89	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = a -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( a || x /\ a || y ) ) )
91	87, 90	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = a -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( a || r -> ( a || x /\ a || y ) ) ) )
92	91	cbvralv 2737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. a e. NN0 ( a || r -> ( a || x /\ a || y ) ) )
93	42, 92	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps <-> A. a e. NN0 ( a || r -> ( a || x /\ a || y ) ) )
94	69	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> th )
95		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> [. ( y mod w ) / r ]. ph )
96	94, 95	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) )
97	83	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> [ w / r ] ph )
98		dfsbcq2 3000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y mod w ) -> ( [ z / r ] ph <-> [. ( y mod w ) / r ]. ph ) )
99	98	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( th /\ [ z / r ] ph ) <-> ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) ) )
100		sbsbc 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ps <-> [. z / x ]. [ w / y ] ps )
101		sbsbc 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( [ w / y ] ps <-> [. w / y ]. ps )
102	101	sbcbii 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. z / x ]. [ w / y ] ps <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
103	100, 102	bitri 184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ps <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
104	103	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) )
105		dfsbcq 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y mod w ) -> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ps <-> [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps ) )
106	105	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( [. z / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) <-> ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) )
107	104, 106	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) <-> ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) )
108	107	rexbidv 2506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y mod w ) -> ( E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) )
109	108	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) ) )
110	99, 109	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) <-> ( ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) ) ) )
111		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) )
112		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
113	112	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
114		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y [ w / r ] ph
115		nfcv 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ y NN0
116		nfs1v 1966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ y [ w / y ] ps
117	116	nfsbxy 1969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ y [ z / x ] [ w / y ] ps
118		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ y ph
119	117, 118	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ y ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph )
120	115, 119	nfrexw 2544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph )
121	114, 120	nfim 1594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ y ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) )
122		sbequ 1862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( [ y / r ] ph <-> [ w / r ] ph ) )
123		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ x y = w
124		sbequ12 1793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = w -> ( ps <-> [ w / y ] ps ) )
125	123, 124	sbbid 1868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = w -> ( [ z / x ] ps <-> [ z / x ] [ w / y ] ps ) )
126	125	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = w -> ( ( [ z / x ] ps /\ ph ) <-> ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) )
127	126	rexbidv 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) )
128	122, 127	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = w -> ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
129	121, 128	rspc 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. NN0 -> ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
130	129	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. NN0 -> ( ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) ) )
131	130	ralimdv 2573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. NN0 -> ( A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) ) )
132	131	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) ) )
133	113, 132	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
134	111, 133	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
135		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> y e. NN0 )
136	135	nn0zd 9492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> y e. ZZ )
137	79	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> w e. NN )
138		zmodfz 10489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( y mod w ) e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) )
139	136, 137, 138	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( y mod w ) e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) )
140	110, 134, 139	rspcdva 2881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) ) )
141	96, 97, 140	mp2d 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) )
142		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w e. NN0
143		nfcv 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( 0 ... ( w - 1 ) )
144		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( th /\ [ z / r ] ph )
145		nfcv 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x NN0
146		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x ph
147	146	nfsbxy 1969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x [ y / r ] ph
148		nfs1v 1966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ x [ z / x ] ps
149	148, 146	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x ( [ z / x ] ps /\ ph )
150	145, 149	nfrexw 2544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph )
151	147, 150	nfim 1594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
152	145, 151	nfralxy 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
153	144, 152	nfim 1594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
154	143, 153	nfralxy 2543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
155	142, 154	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
156		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( th /\ [ w / r ] ph )
157	155, 156	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) )
158		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x 0 < w
159	157, 158	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w )
160		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x y e. NN0
161	159, 160	nfan 1587	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 )
162	161, 147	nfan 1587	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph )
163		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ r w e. NN0
164		nfcv 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ r ( 0 ... ( w - 1 ) )
165		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ r th
166		nfs1v 1966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ r [ z / r ] ph
167	165, 166	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ r ( th /\ [ z / r ] ph )
168		nfcv 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ r NN0
169		nfre1 2548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ r E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph )
170	57, 169	nfim 1594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ r ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
171	168, 170	nfralxy 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ r A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
172	167, 171	nfim 1594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ r ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
173	164, 172	nfralxy 2543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ r A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
174	163, 173	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ r ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
175		nfs1v 1966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ r [ w / r ] ph
176	165, 175	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ r ( th /\ [ w / r ] ph )
177	174, 176	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ r ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) )
178		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ r 0 < w
179	177, 178	nfan 1587	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ r ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w )
180		nfv 1550	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ r y e. NN0
181	179, 180	nfan 1587	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ r ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 )
182	181, 57	nfan 1587	. . . . . . . . . . 11 |- F/ r ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph )
183	68, 72, 75, 80, 81, 82, 86, 93, 141, 162, 182	bezoutlemstep 12260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) )
184	183	exp31 364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> ( y e. NN0 -> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) ) )
185	67, 184	ralrimi 2576	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) )
186		sbsbc 3001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w / x ] ps <-> [. w / x ]. ps )
187	186	anbi1i 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( [. w / x ]. ps /\ ph ) )
188	187	rexbii 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) )
189	188	imbi2i 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) )
190	189	ralbii 2511	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) )
191	185, 190	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) )
192		nn0nlt0 9320	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> -. w < 0 )
193		nn0z 9391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN0 -> w e. ZZ )
194		ztri3or0 9413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ZZ -> ( w < 0 \/ w = 0 \/ 0 < w ) )
195	193, 194	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. NN0 -> ( w < 0 \/ w = 0 \/ 0 < w ) )
196		3orass 983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w < 0 \/ w = 0 \/ 0 < w ) <-> ( w < 0 \/ ( w = 0 \/ 0 < w ) ) )
197	195, 196	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN0 -> ( w < 0 \/ ( w = 0 \/ 0 < w ) ) )
198	197	orcomd 730	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> ( ( w = 0 \/ 0 < w ) \/ w < 0 ) )
199	192, 198	ecased 1361	. . . . . . . 8 |- ( w e. NN0 -> ( w = 0 \/ 0 < w ) )
200	199	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) -> ( w = 0 \/ 0 < w ) )
201	65, 191, 200	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) )
202	201	exp31 364	. . . . 5 |- ( w e. NN0 -> ( A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> ( ( th /\ [ w / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) ) )
203	8, 16, 202	nn0sinds 10589	. . . 4 |- ( x e. NN0 -> ( ( th /\ [ x / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
204	203	expd 258	. . 3 |- ( x e. NN0 -> ( th -> ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) ) )
205	204	impcom 125	. 2 |- ( ( th /\ x e. NN0 ) -> ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
206	205	ralrimiva 2578	1 |- ( th -> A. x e. NN0 ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   \/ w3o 979   = wceq 1372   [wsb 1784   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   [.wsbc 2997   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   0cc0 7924   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   < clt 8106   - cmin 8242   NNcn 9035   NN0cn0 9294   ZZcz 9371   ...cfz 10129   mod cmo 10465   || cdvds 12040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-dvds 12041

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  12264