Theorem bezoutlemmain 11931

Description: Lemma for Bézout's identity. This is the main result which we prove by induction and which represents the application of the Extended Euclidean algorithm. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.is-bezout	|- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
bezout.sub-gcd	|- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
bezout.a	|- ( th -> A e. NN0 )
bezout.b	|- ( th -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmain	|- ( th -> A. x e. NN0 ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, s, t, x, y, z   ps, s, t, z   s, r, t, x, y, z, th   A, r, s, t   B, r, s, t

Allowed substitution hints:   ph( r)   ps( x, y, r)   A( x, y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlemmain

Dummy variables a w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbequ 1828	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( [ w / r ] ph <-> [ z / r ] ph ) )
2	1	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( ( th /\ [ w / r ] ph ) <-> ( th /\ [ z / r ] ph ) ) )
3		sbequ 1828	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( [ w / x ] ps <-> [ z / x ] ps ) )
4	3	anbi1d 461	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
5	4	rexbidv 2467	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
7	6	ralbidv 2466	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
8	2, 7	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = z -> ( ( ( th /\ [ w / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) <-> ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) )
9		sbequ 1828	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( [ w / r ] ph <-> [ x / r ] ph ) )
10	9	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( th /\ [ w / r ] ph ) <-> ( th /\ [ x / r ] ph ) ) )
11		sbequ12r 1760	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( [ w / x ] ps <-> ps ) )
12	11	anbi1d 461	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( ps /\ ph ) ) )
13	12	rexbidv 2467	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) )
14	13	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
15	14	ralbidv 2466	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
16	10, 15	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( ( th /\ [ w / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) <-> ( ( th /\ [ x / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) ) )
17		nfv 1516	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y w e. NN0
18		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ( 0 ... ( w - 1 ) )
19		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( th /\ [ z / r ] ph )
20		nfra1 2497	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
21	19, 20	nfim 1560	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
22	18, 21	nfralxy 2504	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
23	17, 22	nfan 1553	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
24		nfv 1516	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( th /\ [ w / r ] ph )
25	23, 24	nfan 1553	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) )
26		nfv 1516	. . . . . . . . 9 |- F/ y w = 0
27	25, 26	nfan 1553	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 )
28		simplr 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> y e. NN0 )
29		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ r A. z e. NN0 ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) )
30		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = y -> ( z || r <-> z || y ) )
31	30	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = y -> ( ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) <-> ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
32	31	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = y -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
33	29, 32	sbie 1779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ y / r ] A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
34		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN0 -> z e. ZZ )
35		dvds0 11746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ZZ -> z || 0 )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN0 -> z || 0 )
37	36	biantrurd 303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN0 -> ( z || y <-> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
38	37	biimpd 143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN0 -> ( z || y -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
39	33, 38	mprgbir 2524	. . . . . . . . . . . 12 |- [ y / r ] A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) )
40		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ r w = 0
41		dfsbcq2 2954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = 0 -> ( [ w / x ] ps <-> [. 0 / x ]. ps ) )
42		bezout.sub-gcd	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
43	42	sbcbii 3010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. 0 / x ]. ps <-> [. 0 / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) )
44		c0ex 7893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
45		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( z || x <-> z || 0 ) )
46	45	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
47	46	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 0 -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
48	47	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
49	44, 48	sbcie 2985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. 0 / x ]. A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
50	43, 49	bitri 183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. 0 / x ]. ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) )
51	41, 50	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = 0 -> ( [ w / x ] ps <-> A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
52	40, 51	sbbid 1834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = 0 -> ( [ y / r ] [ w / x ] ps <-> [ y / r ] A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || 0 /\ z || y ) ) ) )
53	39, 52	mpbiri 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = 0 -> [ y / r ] [ w / x ] ps )
54	53	ad3antlr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [ y / r ] [ w / x ] ps )
55		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [ y / r ] ph )
56		nfs1v 1927	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ r [ y / r ] [ w / x ] ps
57		nfs1v 1927	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ r [ y / r ] ph
58	56, 57	nfan 1553	. . . . . . . . . . 11 |- F/ r ( [ y / r ] [ w / x ] ps /\ [ y / r ] ph )
59		sbequ12 1759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = y -> ( [ w / x ] ps <-> [ y / r ] [ w / x ] ps ) )
60		sbequ12 1759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = y -> ( ph <-> [ y / r ] ph ) )
61	59, 60	anbi12d 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = y -> ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( [ y / r ] [ w / x ] ps /\ [ y / r ] ph ) ) )
62	58, 61	rspce 2825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( [ y / r ] [ w / x ] ps /\ [ y / r ] ph ) ) -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) )
63	28, 54, 55, 62	syl12anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) )
64	63	exp31 362	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) -> ( y e. NN0 -> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) )
65	27, 64	ralrimi 2537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ w = 0 ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) )
66		nfv 1516	. . . . . . . . . 10 |- F/ y 0 < w
67	25, 66	nfan 1553	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w )
68		bezout.is-bezout	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ r = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
69		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> th )
70		bezout.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( th -> A e. NN0 )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> A e. NN0 )
72	71	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> A e. NN0 )
73		bezout.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( th -> B e. NN0 )
74	69, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> B e. NN0 )
75	74	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> B e. NN0 )
76		simplll 523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> w e. NN0 )
77		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> 0 < w )
78		elnnnn0b 9158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN <-> ( w e. NN0 /\ 0 < w ) )
79	76, 77, 78	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> w e. NN )
80	79	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> w e. NN )
81		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [ y / r ] ph )
82		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> y e. NN0 )
83		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> [ w / r ] ph )
84		sbsbc 2955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ w / r ] ph <-> [. w / r ]. ph )
85	83, 84	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> [. w / r ]. ph )
86	85	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> [. w / r ]. ph )
87		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = a -> ( z || r <-> a || r ) )
88		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = a -> ( z || x <-> a || x ) )
89		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = a -> ( z || y <-> a || y ) )
90	88, 89	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = a -> ( ( z || x /\ z || y ) <-> ( a || x /\ a || y ) ) )
91	87, 90	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = a -> ( ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> ( a || r -> ( a || x /\ a || y ) ) ) )
92	91	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. NN0 ( z || r -> ( z || x /\ z || y ) ) <-> A. a e. NN0 ( a || r -> ( a || x /\ a || y ) ) )
93	42, 92	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps <-> A. a e. NN0 ( a || r -> ( a || x /\ a || y ) ) )
94	69	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> th )
95		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> [. ( y mod w ) / r ]. ph )
96	94, 95	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) )
97	83	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> [ w / r ] ph )
98		dfsbcq2 2954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y mod w ) -> ( [ z / r ] ph <-> [. ( y mod w ) / r ]. ph ) )
99	98	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( th /\ [ z / r ] ph ) <-> ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) ) )
100		sbsbc 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ps <-> [. z / x ]. [ w / y ] ps )
101		sbsbc 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( [ w / y ] ps <-> [. w / y ]. ps )
102	101	sbcbii 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. z / x ]. [ w / y ] ps <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
103	100, 102	bitri 183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [ z / x ] [ w / y ] ps <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
104	103	anbi1i 454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) )
105		dfsbcq 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( y mod w ) -> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ps <-> [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps ) )
106	105	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( [. z / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) <-> ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) )
107	104, 106	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) <-> ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) )
108	107	rexbidv 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y mod w ) -> ( E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) )
109	108	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) ) )
110	99, 109	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y mod w ) -> ( ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) <-> ( ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) ) ) )
111		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) )
112		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
113	112	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
114		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y [ w / r ] ph
115		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ y NN0
116		nfs1v 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ y [ w / y ] ps
117	116	nfsbxy 1930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ y [ z / x ] [ w / y ] ps
118		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ y ph
119	117, 118	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ y ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph )
120	115, 119	nfrexxy 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph )
121	114, 120	nfim 1560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ y ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) )
122		sbequ 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( [ y / r ] ph <-> [ w / r ] ph ) )
123		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ x y = w
124		sbequ12 1759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = w -> ( ps <-> [ w / y ] ps ) )
125	123, 124	sbbid 1834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = w -> ( [ z / x ] ps <-> [ z / x ] [ w / y ] ps ) )
126	125	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = w -> ( ( [ z / x ] ps /\ ph ) <-> ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) )
127	126	rexbidv 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) )
128	122, 127	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = w -> ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
129	121, 128	rspc 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. NN0 -> ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
130	129	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. NN0 -> ( ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) ) )
131	130	ralimdv 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. NN0 -> ( A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) ) )
132	131	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) ) )
133	113, 132	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
134	111, 133	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] [ w / y ] ps /\ ph ) ) ) )
135		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> y e. NN0 )
136	135	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> y e. ZZ )
137	79	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> w e. NN )
138		zmodfz 10281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( y mod w ) e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) )
139	136, 137, 138	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( y mod w ) e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) )
140	110, 134, 139	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( ( th /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> ( [ w / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) ) ) )
141	96, 97, 140	mp2d 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) /\ [. ( y mod w ) / r ]. ph ) -> E. r e. NN0 ( [. ( y mod w ) / x ]. [. w / y ]. ps /\ ph ) )
142		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w e. NN0
143		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( 0 ... ( w - 1 ) )
144		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( th /\ [ z / r ] ph )
145		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x NN0
146		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x ph
147	146	nfsbxy 1930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x [ y / r ] ph
148		nfs1v 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ x [ z / x ] ps
149	148, 146	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x ( [ z / x ] ps /\ ph )
150	145, 149	nfrexxy 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph )
151	147, 150	nfim 1560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
152	145, 151	nfralxy 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
153	144, 152	nfim 1560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
154	143, 153	nfralxy 2504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
155	142, 154	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
156		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( th /\ [ w / r ] ph )
157	155, 156	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) )
158		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x 0 < w
159	157, 158	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w )
160		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x y e. NN0
161	159, 160	nfan 1553	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 )
162	161, 147	nfan 1553	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph )
163		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ r w e. NN0
164		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ r ( 0 ... ( w - 1 ) )
165		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ r th
166		nfs1v 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ r [ z / r ] ph
167	165, 166	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ r ( th /\ [ z / r ] ph )
168		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ r NN0
169		nfre1 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ r E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph )
170	57, 169	nfim 1560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ r ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
171	168, 170	nfralxy 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ r A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) )
172	167, 171	nfim 1560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ r ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
173	164, 172	nfralxy 2504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ r A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) )
174	163, 173	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ r ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) )
175		nfs1v 1927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ r [ w / r ] ph
176	165, 175	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ r ( th /\ [ w / r ] ph )
177	174, 176	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ r ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) )
178		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ r 0 < w
179	177, 178	nfan 1553	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ r ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w )
180		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ r y e. NN0
181	179, 180	nfan 1553	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ r ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 )
182	181, 57	nfan 1553	. . . . . . . . . . 11 |- F/ r ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph )
183	68, 72, 75, 80, 81, 82, 86, 93, 141, 162, 182	bezoutlemstep 11930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) /\ y e. NN0 ) /\ [ y / r ] ph ) -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) )
184	183	exp31 362	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> ( y e. NN0 -> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) ) )
185	67, 184	ralrimi 2537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) )
186		sbsbc 2955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w / x ] ps <-> [. w / x ]. ps )
187	186	anbi1i 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> ( [. w / x ]. ps /\ ph ) )
188	187	rexbii 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) <-> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) )
189	188	imbi2i 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) )
190	189	ralbii 2472	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) <-> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [. w / x ]. ps /\ ph ) ) )
191	185, 190	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) /\ 0 < w ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) )
192		nn0nlt0 9140	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> -. w < 0 )
193		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN0 -> w e. ZZ )
194		ztri3or0 9233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ZZ -> ( w < 0 \/ w = 0 \/ 0 < w ) )
195	193, 194	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. NN0 -> ( w < 0 \/ w = 0 \/ 0 < w ) )
196		3orass 971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w < 0 \/ w = 0 \/ 0 < w ) <-> ( w < 0 \/ ( w = 0 \/ 0 < w ) ) )
197	195, 196	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. NN0 -> ( w < 0 \/ ( w = 0 \/ 0 < w ) ) )
198	197	orcomd 719	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> ( ( w = 0 \/ 0 < w ) \/ w < 0 ) )
199	192, 198	ecased 1339	. . . . . . . 8 |- ( w e. NN0 -> ( w = 0 \/ 0 < w ) )
200	199	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) -> ( w = 0 \/ 0 < w ) )
201	65, 191, 200	mpjaodan 788	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. NN0 /\ A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) ) /\ ( th /\ [ w / r ] ph ) ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) )
202	201	exp31 362	. . . . 5 |- ( w e. NN0 -> ( A. z e. ( 0 ... ( w - 1 ) ) ( ( th /\ [ z / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ z / x ] ps /\ ph ) ) ) -> ( ( th /\ [ w / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( [ w / x ] ps /\ ph ) ) ) ) )
203	8, 16, 202	nn0sinds 10379	. . . 4 |- ( x e. NN0 -> ( ( th /\ [ x / r ] ph ) -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
204	203	expd 256	. . 3 |- ( x e. NN0 -> ( th -> ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) ) )
205	204	impcom 124	. 2 |- ( ( th /\ x e. NN0 ) -> ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )
206	205	ralrimiva 2539	1 |- ( th -> A. x e. NN0 ( [ x / r ] ph -> A. y e. NN0 ( [ y / r ] ph -> E. r e. NN0 ( ps /\ ph ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   \/ w3o 967   = wceq 1343   [wsb 1750   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   [.wsbc 2951   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   - cmin 8069   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ...cfz 9944   mod cmo 10257   || cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  11934