ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxrge0 GIF version

Theorem elxrge0 9991
Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elxrge0 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0
StepHypRef Expression
1 df-3an 981 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2 0xr 8017 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 pnfxr 8023 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
4 elicc1 9937 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ +∞)))
52, 3, 4mp2an 426 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ +∞))
6 pnfge 9802 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
76adantr 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
87pm4.71i 391 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
91, 5, 83bitr4i 212 1 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  w3a 979  wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  0cc0 7824  +∞cpnf 8002  *cxr 8004  cle 8006  [,]cicc 9904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921  ax-rnegex 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-icc 9908
This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  9993  ge0xaddcl  9996  psmetxrge0  14059  isxmet2d  14075  comet  14226  bdxmet  14228
  Copyright terms: Public domain W3C validator