Theorem enqdc 6974

Description: The equivalence relation for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enqdc	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. )

Proof of Theorem enqdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 6941	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ D e. N. ) -> ( A .N D ) e. N. )
2		mulclpi 6941	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. )
3		pinn 6922	. . . . 5 |- ( ( A .N D ) e. N. -> ( A .N D ) e. om )
4		pinn 6922	. . . . 5 |- ( ( B .N C ) e. N. -> ( B .N C ) e. om )
5		nndceq 6274	. . . . 5 |- ( ( ( A .N D ) e. om /\ ( B .N C ) e. om ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
6	3, 4, 5	syl2an 284	. . . 4 |- ( ( ( A .N D ) e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
7	1, 2, 6	syl2an 284	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
8	7	an42s 557	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
9		enqbreq 6969	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )
10	9	dcbid 787	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> (DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )
11	8, 10	mpbird 166	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 781   = wceq 1290   e. wcel 1439   <.cop 3453   class class class wbr 3851   omcom 4418  (class class class)co 5666   N.cnpi 6885   .N cmi 6887   ~Q ceq 6892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-ni 6917  df-mi 6919  df-enq 6960

This theorem is referenced by:  enqdc1  6975