ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enqdc Unicode version

Theorem enqdc 7176
Description: The equivalence relation for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
enqdc  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  -> DECID  <. A ,  B >.  ~Q  <. C ,  D >. )

Proof of Theorem enqdc
StepHypRef Expression
1 mulclpi 7143 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  ->  ( A  .N  D
)  e.  N. )
2 mulclpi 7143 . . . 4  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  .N  C
)  e.  N. )
3 pinn 7124 . . . . 5  |-  ( ( A  .N  D )  e.  N.  ->  ( A  .N  D )  e. 
om )
4 pinn 7124 . . . . 5  |-  ( ( B  .N  C )  e.  N.  ->  ( B  .N  C )  e. 
om )
5 nndceq 6395 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  D
)  e.  om  /\  ( B  .N  C
)  e.  om )  -> DECID  ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C ) )
63, 4, 5syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( ( A  .N  D
)  e.  N.  /\  ( B  .N  C
)  e.  N. )  -> DECID  ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C ) )
71, 2, 6syl2an 287 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  -> DECID  ( A  .N  D
)  =  ( B  .N  C ) )
87an42s 578 . 2  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  -> DECID  ( A  .N  D
)  =  ( B  .N  C ) )
9 enqbreq 7171 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  ~Q  <. C ,  D >.  <->  ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C ) ) )
109dcbid 823 . 2  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  (DECID  <. A ,  B >.  ~Q  <. C ,  D >. 
<-> DECID  ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C ) ) )
118, 10mpbird 166 1  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  -> DECID  <. A ,  B >.  ~Q  <. C ,  D >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 819    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   omcom 4504  (class class class)co 5774   N.cnpi 7087    .N cmi 7089    ~Q ceq 7094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-ni 7119  df-mi 7121  df-enq 7162
This theorem is referenced by:  enqdc1  7177
  Copyright terms: Public domain W3C validator