Theorem enqdc 7548

Description: The equivalence relation for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enqdc	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. )

Proof of Theorem enqdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 7515	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ D e. N. ) -> ( A .N D ) e. N. )
2		mulclpi 7515	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. )
3		pinn 7496	. . . . 5 |- ( ( A .N D ) e. N. -> ( A .N D ) e. om )
4		pinn 7496	. . . . 5 |- ( ( B .N C ) e. N. -> ( B .N C ) e. om )
5		nndceq 6645	. . . . 5 |- ( ( ( A .N D ) e. om /\ ( B .N C ) e. om ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( A .N D ) e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
7	1, 2, 6	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
8	7	an42s 591	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
9		enqbreq 7543	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )
10	9	dcbid 843	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> (DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )
11	8, 10	mpbird 167	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4083   omcom 4682  (class class class)co 6001   N.cnpi 7459   .N cmi 7461   ~Q ceq 7466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-ni 7491  df-mi 7493  df-enq 7534

This theorem is referenced by:  enqdc1  7549