Theorem enqdc 7734

Description: The equivalence relation for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enqdc	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. )

Proof of Theorem enqdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 7701	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ D e. N. ) -> ( A .N D ) e. N. )
2		mulclpi 7701	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. )
3		pinn 7682	. . . . 5 |- ( ( A .N D ) e. N. -> ( A .N D ) e. om )
4		pinn 7682	. . . . 5 |- ( ( B .N C ) e. N. -> ( B .N C ) e. om )
5		nndceq 6776	. . . . 5 |- ( ( ( A .N D ) e. om /\ ( B .N C ) e. om ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( A .N D ) e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
7	1, 2, 6	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
8	7	an42s 597	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
9		enqbreq 7729	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )
10	9	dcbid 850	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> (DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )
11	8, 10	mpbird 167	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4131   omcom 4739  (class class class)co 6088   N.cnpi 7645   .N cmi 7647   ~Q ceq 7652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-ni 7677  df-mi 7679  df-enq 7720

This theorem is used by:  enqdc1  7735