ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1nprm Unicode version

Theorem 1nprm 12113
Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
1nprm  |-  -.  1  e.  Prime

Proof of Theorem 1nprm
Dummy variables  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nen2 6860 . 2  |-  -.  1o  ~~  2o
2 1nn 8929 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
3 eleq1 2240 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
z  e.  NN  <->  1  e.  NN ) )
42, 3mpbiri 168 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  z  e.  NN )
5 nnnn0 9182 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
6 dvds1 11858 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z 
||  1  <->  z  = 
1 ) )
75, 6syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  ||  1  <->  z  = 
1 ) )
87bicomd 141 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  <->  z  ||  1 ) )
94, 8biadan2 456 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
10 velsn 3609 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
11 breq1 4006 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  z  ->  (
n  ||  1  <->  z  ||  1 ) )
1211elrab 2893 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
139, 10, 123bitr4ri 213 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  z  e.  {
1 } )
1413eqriv 2174 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  =  {
1 }
15 1ex 7951 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
1615ensn1 6795 . . . . 5  |-  { 1 }  ~~  1o
1714, 16eqbrtri 4024 . . . 4  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  1o
1817ensymi 6781 . . 3  |-  1o  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }
19 isprm 12108 . . . 4  |-  ( 1  e.  Prime  <->  ( 1  e.  NN  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o ) )
2019simprbi 275 . . 3  |-  ( 1  e.  Prime  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o )
21 entr 6783 . . 3  |-  ( ( 1o  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o )  ->  1o  ~~  2o )
2218, 20, 21sylancr 414 . 2  |-  ( 1  e.  Prime  ->  1o  ~~  2o )
231, 22mto 662 1  |-  -.  1  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   {crab 2459   {csn 3592   class class class wbr 4003   1oc1o 6409   2oc2o 6410    ~~ cen 6737   1c1 7811   NNcn 8918   NN0cn0 9175    || cdvds 11793   Primecprime 12106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794  df-prm 12107
This theorem is referenced by:  isprm2  12116  nprmdvds1  12139  prm23lt5  12262  pcmpt  12340
  Copyright terms: Public domain W3C validator