Theorem 1nprm 12116

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	|- -. 1 e. Prime

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nen2 6863	. 2 |- -. 1o ~~ 2o
2		1nn 8932	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
3		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( z e. NN <-> 1 e. NN ) )
4	2, 3	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> z e. NN )
5		nnnn0 9185	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
6		dvds1 11861	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN0 -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
8	7	bicomd 141	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 <-> z || 1 ) )
9	4, 8	biadan2 456	. . . . . . 7 |- ( z = 1 <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
10		velsn 3611	. . . . . . 7 |- ( z e. { 1 } <-> z = 1 )
11		breq1 4008	. . . . . . . 8 |- ( n = z -> ( n || 1 <-> z || 1 ) )
12	11	elrab 2895	. . . . . . 7 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
13	9, 10, 12	3bitr4ri 213	. . . . . 6 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> z e. { 1 } )
14	13	eqriv 2174	. . . . 5 |- { n e. NN | n || 1 } = { 1 }
15		1ex 7954	. . . . . 6 |- 1 e. _V
16	15	ensn1 6798	. . . . 5 |- { 1 } ~~ 1o
17	14, 16	eqbrtri 4026	. . . 4 |- { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o
18	17	ensymi 6784	. . 3 |- 1o ~~ { n e. NN | n || 1 }
19		isprm 12111	. . . 4 |- ( 1 e. Prime <-> ( 1 e. NN /\ { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o ) )
20	19	simprbi 275	. . 3 |- ( 1 e. Prime -> { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
21		entr 6786	. . 3 |- ( ( 1o ~~ { n e. NN | n || 1 } /\ { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
22	18, 20, 21	sylancr 414	. 2 |- ( 1 e. Prime -> 1o ~~ 2o )
23	1, 22	mto 662	1 |- -. 1 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   {csn 3594   class class class wbr 4005   1oc1o 6412   2oc2o 6413   ~~ cen 6740   1c1 7814   NNcn 8921   NN0cn0 9178   || cdvds 11796   Primecprime 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-prm 12110

This theorem is referenced by:  isprm2  12119  nprmdvds1  12142  prm23lt5  12265  pcmpt  12343