Theorem 1nprm 12113

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	|- -. 1 e. Prime

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nen2 6860	. 2 |- -. 1o ~~ 2o
2		1nn 8929	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
3		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( z e. NN <-> 1 e. NN ) )
4	2, 3	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> z e. NN )
5		nnnn0 9182	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
6		dvds1 11858	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN0 -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
8	7	bicomd 141	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 <-> z || 1 ) )
9	4, 8	biadan2 456	. . . . . . 7 |- ( z = 1 <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
10		velsn 3609	. . . . . . 7 |- ( z e. { 1 } <-> z = 1 )
11		breq1 4006	. . . . . . . 8 |- ( n = z -> ( n || 1 <-> z || 1 ) )
12	11	elrab 2893	. . . . . . 7 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
13	9, 10, 12	3bitr4ri 213	. . . . . 6 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> z e. { 1 } )
14	13	eqriv 2174	. . . . 5 |- { n e. NN | n || 1 } = { 1 }
15		1ex 7951	. . . . . 6 |- 1 e. _V
16	15	ensn1 6795	. . . . 5 |- { 1 } ~~ 1o
17	14, 16	eqbrtri 4024	. . . 4 |- { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o
18	17	ensymi 6781	. . 3 |- 1o ~~ { n e. NN | n || 1 }
19		isprm 12108	. . . 4 |- ( 1 e. Prime <-> ( 1 e. NN /\ { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o ) )
20	19	simprbi 275	. . 3 |- ( 1 e. Prime -> { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
21		entr 6783	. . 3 |- ( ( 1o ~~ { n e. NN | n || 1 } /\ { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
22	18, 20, 21	sylancr 414	. 2 |- ( 1 e. Prime -> 1o ~~ 2o )
23	1, 22	mto 662	1 |- -. 1 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   {csn 3592   class class class wbr 4003   1oc1o 6409   2oc2o 6410   ~~ cen 6737   1c1 7811   NNcn 8918   NN0cn0 9175   || cdvds 11793   Primecprime 12106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794  df-prm 12107

This theorem is referenced by:  isprm2  12116  nprmdvds1  12139  prm23lt5  12262  pcmpt  12340