Theorem ensn1 6762

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		0ex 4109	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	1, 2	f1osn 5472	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
4	1, 2	opex 4207	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V
5	4	snex 4164	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
6		f1oeq1 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
7	5, 6	spcev 2821	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
9		bren 6713	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
10	8, 9	mpbir 145	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
11		df1o2 6397	. 2 ⊢ 1o = {∅}
12	10, 11	breqtrri 4009	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

Syntax hints:  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  ∅c0 3409  {csn 3576  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  –1-1-onto→wf1o 5187  1_oc1o 6377   ≈ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-1o 6384  df-en 6707

This theorem is referenced by:  ensn1g  6763  en1  6765  pm54.43  7146  1nprm  12046  en1top  12717