Theorem ensn1 6593

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		0ex 3987	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	1, 2	f1osn 5328	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
4	1, 2	opex 4080	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V
5	4	snex 4041	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
6		f1oeq1 5279	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
7	5, 6	spcev 2727	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
8	3, 7	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
9		bren 6544	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
10	8, 9	mpbir 145	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
11		df1o2 6232	. 2 ⊢ 1o = {∅}
12	10, 11	breqtrri 3892	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

Syntax hints:  ∃wex 1433   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633  ∅c0 3302  {csn 3466  ⟨cop 3469   class class class wbr 3867  –1-1-onto→wf1o 5048  1_oc1o 6212   ≈ cen 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-suc 4222  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-1o 6219  df-en 6538

This theorem is referenced by:  ensn1g  6594  en1  6596  pm54.43  6915  1nprm  11523  en1top  11929