Theorem ensn1 6795

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		0ex 4130	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	1, 2	f1osn 5501	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
4	1, 2	opex 4229	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V
5	4	snex 4185	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
6		f1oeq1 5449	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
7	5, 6	spcev 2832	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
9		bren 6746	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
10	8, 9	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
11		df1o2 6429	. 2 ⊢ 1o = {∅}
12	10, 11	breqtrri 4030	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

Syntax hints:  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ∅c0 3422  {csn 3592  ⟨cop 3595   class class class wbr 4003  –1-1-onto→wf1o 5215  1_oc1o 6409   ≈ cen 6737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-suc 4371  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-1o 6416  df-en 6740

This theorem is referenced by:  ensn1g  6796  en1  6798  pm54.43  7188  1nprm  12113  en1top  13513