ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ensn1 GIF version

Theorem ensn1 6446
Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Hypothesis
Ref Expression
ensn1.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ensn1 {𝐴} ≈ 1𝑜

Proof of Theorem ensn1
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensn1.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
2 0ex 3934 . . . . 5 ∅ ∈ V
31, 2f1osn 5244 . . . 4 {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
41, 2opex 4023 . . . . . 6 𝐴, ∅⟩ ∈ V
54snex 3987 . . . . 5 {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
6 f1oeq1 5195 . . . . 5 (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
75, 6spcev 2705 . . . 4 ({⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
83, 7ax-mp 7 . . 3 𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
9 bren 6397 . . 3 ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
108, 9mpbir 144 . 2 {𝐴} ≈ {∅}
11 df1o2 6129 . 2 1𝑜 = {∅}
1210, 11breqtrri 3839 1 {𝐴} ≈ 1𝑜
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wex 1424  wcel 1436  Vcvv 2614  c0 3272  {csn 3425  cop 3428   class class class wbr 3814  1-1-ontowf1o 4971  1𝑜c1o 6109  cen 6388
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-suc 4165  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-1o 6116  df-en 6391
This theorem is referenced by:  ensn1g  6447  en1  6449  pm54.43  6739  1nprm  10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator