Theorem ensn1 6852

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		0ex 4157	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	1, 2	f1osn 5541	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
4	1, 2	opex 4259	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V
5	4	snex 4215	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
6		f1oeq1 5489	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
7	5, 6	spcev 2856	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅} → ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
9		bren 6803	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
10	8, 9	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
11		df1o2 6484	. 2 ⊢ 1o = {∅}
12	10, 11	breqtrri 4057	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

Syntax hints:  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∅c0 3447  {csn 3619  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030  –1-1-onto→wf1o 5254  1_oc1o 6464   ≈ cen 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-1o 6471  df-en 6797

This theorem is referenced by:  ensn1g  6853  en1  6855  pm54.43  7252  1nprm  12255  en1top  14256