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Theorem eroprf 6375
Description: Functionality of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eropr.1  |-  J  =  ( A /. R
)
eropr.2  |-  K  =  ( B /. S
)
eropr.3  |-  ( ph  ->  T  e.  Z )
eropr.4  |-  ( ph  ->  R  Er  U )
eropr.5  |-  ( ph  ->  S  Er  V )
eropr.6  |-  ( ph  ->  T  Er  W )
eropr.7  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
eropr.8  |-  ( ph  ->  B  C_  V )
eropr.9  |-  ( ph  ->  C  C_  W )
eropr.10  |-  ( ph  ->  .+  : ( A  X.  B ) --> C )
eropr.11  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( t  e.  B  /\  u  e.  B
) ) )  -> 
( ( r R s  /\  t S u )  ->  (
r  .+  t ) T ( s  .+  u ) ) )
eropr.12  |-  .+^  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) }
eropr.13  |-  ( ph  ->  R  e.  X )
eropr.14  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
eropr.15  |-  L  =  ( C /. T
)
Assertion
Ref Expression
eroprf  |-  ( ph  -> 
.+^  : ( J  X.  K ) --> L )
Distinct variable groups:    q, p, r, s, t, u, x, y, z, A    B, p, q, r, s, t, u, x, y, z    L, p, q, x, y, z    J, p, q, x, y, z    R, p, q, r, s, t, u, x, y, z    K, p, q, x, y, z    S, p, q, r, s, t, u, x, y, z    .+ , p, q, r, s, t, u, x, y, z    ph, p, q, r, s, t, u, x, y, z    T, p, q, r, s, t, u, x, y, z    X, p, q, r, s, t, u, z    Y, p, q, r, s, t, u, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    .+^ ( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    U( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    J( u, t, s, r)    K( u, t, s, r)    L( u, t, s, r)    V( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    W( x, y, z, u, t, s, r, q, p)    X( x, y)    Y( x, y)    Z( x, y, z, u, t, s, r, q, p)

Proof of Theorem eroprf
StepHypRef Expression
1 eropr.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  Z )
21ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  ->  T  e.  Z )
3 eropr.10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .+  : ( A  X.  B ) --> C )
43adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  .+  : ( A  X.  B ) --> C )
54fovrnda 5780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  C )
6 ecelqsg 6335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Z  /\  ( p  .+  q )  e.  C )  ->  [ ( p  .+  q ) ] T  e.  ( C /. T
) )
72, 5, 6syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  ->  [ ( p  .+  q ) ] T  e.  ( C /. T
) )
8 eropr.15 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( C /. T
)
97, 8syl6eleqr 2181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  ->  [ ( p  .+  q ) ] T  e.  L )
10 eleq1a 2159 . . . . . . . . 9  |-  ( [ ( p  .+  q
) ] T  e.  L  ->  ( z  =  [ ( p  .+  q ) ] T  ->  z  e.  L ) )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  -> 
( z  =  [
( p  .+  q
) ] T  -> 
z  e.  L ) )
1211adantld 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  B ) )  -> 
( ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T )  ->  z  e.  L
) )
1312rexlimdvva 2496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T )  ->  z  e.  L
) )
1413abssdv 3095 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  { z  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  (
( x  =  [
p ] R  /\  y  =  [ q ] S )  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) }  C_  L
)
15 eropr.1 . . . . . . 7  |-  J  =  ( A /. R
)
16 eropr.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( B /. S
)
17 eropr.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Er  U )
18 eropr.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  Er  V )
19 eropr.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  Er  W )
20 eropr.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
21 eropr.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  V )
22 eropr.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  C_  W )
23 eropr.11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( t  e.  B  /\  u  e.  B
) ) )  -> 
( ( r R s  /\  t S u )  ->  (
r  .+  t ) T ( s  .+  u ) ) )
2415, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23eroveu 6373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  ->  E! z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) )
25 iotacl 4998 . . . . . 6  |-  ( E! z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T )  ->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) )  e.  { z  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) } )
2624, 25syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) )  e.  {
z  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) } )
2714, 26sseldd 3026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  K ) )  -> 
( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) )  e.  L
)
2827ralrimivva 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) )  e.  L
)
29 eqid 2088 . . . 4  |-  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) ) )  =  ( x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( (
x  =  [ p ] R  /\  y  =  [ q ] S
)  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) ) )
3029fmpt2 5963 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) )  e.  L  <->  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) ) ) : ( J  X.  K ) --> L )
3128, 30sylib 120 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  (
( x  =  [
p ] R  /\  y  =  [ q ] S )  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) ) ) : ( J  X.  K
) --> L )
32 eropr.12 . . . 4  |-  .+^  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) }
3315, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23, 32erovlem 6374 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+^  =  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  ( ( x  =  [ p ] R  /\  y  =  [
q ] S )  /\  z  =  [
( p  .+  q
) ] T ) ) ) )
3433feq1d 5143 . 2  |-  ( ph  ->  (  .+^  : ( J  X.  K ) --> L  <-> 
( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( iota z E. p  e.  A  E. q  e.  B  (
( x  =  [
p ] R  /\  y  =  [ q ] S )  /\  z  =  [ ( p  .+  q ) ] T
) ) ) : ( J  X.  K
) --> L ) )
3531, 34mpbird 165 1  |-  ( ph  -> 
.+^  : ( J  X.  K ) --> L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   E!weu 1948   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360    C_ wss 2999   class class class wbr 3843    X. cxp 4434   iotacio 4973   -->wf 5006  (class class class)co 5644   {coprab 5645    |-> cmpt2 5646    Er wer 6279   [cec 6280   /.cqs 6281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288
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