Theorem eroprf 6687

Description: Functionality of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eropr.1	|- J = ( A /. R )
eropr.2	|- K = ( B /. S )
eropr.3	|- ( ph -> T e. Z )
eropr.4	|- ( ph -> R Er U )
eropr.5	|- ( ph -> S Er V )
eropr.6	|- ( ph -> T Er W )
eropr.7	|- ( ph -> A C_ U )
eropr.8	|- ( ph -> B C_ V )
eropr.9	|- ( ph -> C C_ W )
eropr.10	|- ( ph -> .+ : ( A X. B ) --> C )
eropr.11	|- ( ( ph /\ ( ( r e. A /\ s e. A ) /\ ( t e. B /\ u e. B ) ) ) -> ( ( r R s /\ t S u ) -> ( r .+ t ) T ( s .+ u ) ) )
eropr.12	|- .+^ = { <. <. x , y >. , z >. | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) }
eropr.13	|- ( ph -> R e. X )
eropr.14	|- ( ph -> S e. Y )
eropr.15	|- L = ( C /. T )

Assertion

Ref	Expression
eroprf	|- ( ph -> .+^ : ( J X. K ) --> L )

Distinct variable groups:   q, p, r, s, t, u, x, y, z, A   B, p, q, r, s, t, u, x, y, z   L, p, q, x, y, z   J, p, q, x, y, z   R, p, q, r, s, t, u, x, y, z   K, p, q, x, y, z   S, p, q, r, s, t, u, x, y, z   .+ , p, q, r, s, t, u, x, y, z   ph, p, q, r, s, t, u, x, y, z   T, p, q, r, s, t, u, x, y, z   X, p, q, r, s, t, u, z   Y, p, q, r, s, t, u, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   .+^ ( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   U( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   J( u, t, s, r)   K( u, t, s, r)   L( u, t, s, r)   V( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   W( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   X( x, y)   Y( x, y)   Z( x, y, z, u, t, s, r, q, p)

Proof of Theorem eroprf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eropr.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. Z )
2	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> T e. Z )
3		eropr.10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .+ : ( A X. B ) --> C )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> .+ : ( A X. B ) --> C )
5	4	fovcdmda 6067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> ( p .+ q ) e. C )
6		ecelqsg 6647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. Z /\ ( p .+ q ) e. C ) -> [ ( p .+ q ) ] T e. ( C /. T ) )
7	2, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> [ ( p .+ q ) ] T e. ( C /. T ) )
8		eropr.15	. . . . . . . . . 10 |- L = ( C /. T )
9	7, 8	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> [ ( p .+ q ) ] T e. L )
10		eleq1a 2268	. . . . . . . . 9 |- ( [ ( p .+ q ) ] T e. L -> ( z = [ ( p .+ q ) ] T -> z e. L ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> ( z = [ ( p .+ q ) ] T -> z e. L ) )
12	11	adantld 278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> ( ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> z e. L ) )
13	12	rexlimdvva 2622	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> z e. L ) )
14	13	abssdv 3257	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> { z | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } C_ L )
15		eropr.1	. . . . . . 7 |- J = ( A /. R )
16		eropr.2	. . . . . . 7 |- K = ( B /. S )
17		eropr.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> R Er U )
18		eropr.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> S Er V )
19		eropr.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> T Er W )
20		eropr.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ U )
21		eropr.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ V )
22		eropr.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> C C_ W )
23		eropr.11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( r e. A /\ s e. A ) /\ ( t e. B /\ u e. B ) ) ) -> ( ( r R s /\ t S u ) -> ( r .+ t ) T ( s .+ u ) ) )
24	15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23	eroveu 6685	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> E! z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) )
25		iotacl 5243	. . . . . 6 |- ( E! z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. { z | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. { z | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } )
27	14, 26	sseldd 3184	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. L )
28	27	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. x e. J A. y e. K ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. L )
29		eqid 2196	. . . 4 |- ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) = ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) )
30	29	fmpo 6259	. . 3 |- ( A. x e. J A. y e. K ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. L <-> ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) : ( J X. K ) --> L )
31	28, 30	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) : ( J X. K ) --> L )
32		eropr.12	. . . 4 |- .+^ = { <. <. x , y >. , z >. | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) }
33	15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23, 32	erovlem 6686	. . 3 |- ( ph -> .+^ = ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) )
34	33	feq1d 5394	. 2 |- ( ph -> ( .+^ : ( J X. K ) --> L <-> ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) : ( J X. K ) --> L ) )
35	31, 34	mpbird 167	1 |- ( ph -> .+^ : ( J X. K ) --> L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E!weu 2045   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   iotacio 5217   -->wf 5254  (class class class)co 5922   {coprab 5923   e. cmpo 5924   Er wer 6589   [cec 6590   /.cqs 6591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598

This theorem is referenced by:  eroprf2  6688