Theorem eroprf 6628

Description: Functionality of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eropr.1	|- J = ( A /. R )
eropr.2	|- K = ( B /. S )
eropr.3	|- ( ph -> T e. Z )
eropr.4	|- ( ph -> R Er U )
eropr.5	|- ( ph -> S Er V )
eropr.6	|- ( ph -> T Er W )
eropr.7	|- ( ph -> A C_ U )
eropr.8	|- ( ph -> B C_ V )
eropr.9	|- ( ph -> C C_ W )
eropr.10	|- ( ph -> .+ : ( A X. B ) --> C )
eropr.11	|- ( ( ph /\ ( ( r e. A /\ s e. A ) /\ ( t e. B /\ u e. B ) ) ) -> ( ( r R s /\ t S u ) -> ( r .+ t ) T ( s .+ u ) ) )
eropr.12	|- .+^ = { <. <. x , y >. , z >. | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) }
eropr.13	|- ( ph -> R e. X )
eropr.14	|- ( ph -> S e. Y )
eropr.15	|- L = ( C /. T )

Assertion

Ref	Expression
eroprf	|- ( ph -> .+^ : ( J X. K ) --> L )

Distinct variable groups:   q, p, r, s, t, u, x, y, z, A   B, p, q, r, s, t, u, x, y, z   L, p, q, x, y, z   J, p, q, x, y, z   R, p, q, r, s, t, u, x, y, z   K, p, q, x, y, z   S, p, q, r, s, t, u, x, y, z   .+ , p, q, r, s, t, u, x, y, z   ph, p, q, r, s, t, u, x, y, z   T, p, q, r, s, t, u, x, y, z   X, p, q, r, s, t, u, z   Y, p, q, r, s, t, u, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   .+^ ( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   U( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   J( u, t, s, r)   K( u, t, s, r)   L( u, t, s, r)   V( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   W( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   X( x, y)   Y( x, y)   Z( x, y, z, u, t, s, r, q, p)

Proof of Theorem eroprf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eropr.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. Z )
2	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> T e. Z )
3		eropr.10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .+ : ( A X. B ) --> C )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> .+ : ( A X. B ) --> C )
5	4	fovcdmda 6018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> ( p .+ q ) e. C )
6		ecelqsg 6588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. Z /\ ( p .+ q ) e. C ) -> [ ( p .+ q ) ] T e. ( C /. T ) )
7	2, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> [ ( p .+ q ) ] T e. ( C /. T ) )
8		eropr.15	. . . . . . . . . 10 |- L = ( C /. T )
9	7, 8	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> [ ( p .+ q ) ] T e. L )
10		eleq1a 2249	. . . . . . . . 9 |- ( [ ( p .+ q ) ] T e. L -> ( z = [ ( p .+ q ) ] T -> z e. L ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> ( z = [ ( p .+ q ) ] T -> z e. L ) )
12	11	adantld 278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> ( ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> z e. L ) )
13	12	rexlimdvva 2602	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> z e. L ) )
14	13	abssdv 3230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> { z | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } C_ L )
15		eropr.1	. . . . . . 7 |- J = ( A /. R )
16		eropr.2	. . . . . . 7 |- K = ( B /. S )
17		eropr.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> R Er U )
18		eropr.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> S Er V )
19		eropr.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> T Er W )
20		eropr.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ U )
21		eropr.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ V )
22		eropr.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> C C_ W )
23		eropr.11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( r e. A /\ s e. A ) /\ ( t e. B /\ u e. B ) ) ) -> ( ( r R s /\ t S u ) -> ( r .+ t ) T ( s .+ u ) ) )
24	15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23	eroveu 6626	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> E! z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) )
25		iotacl 5202	. . . . . 6 |- ( E! z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. { z | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } )
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. { z | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } )
27	14, 26	sseldd 3157	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. L )
28	27	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( ph -> A. x e. J A. y e. K ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. L )
29		eqid 2177	. . . 4 |- ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) = ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) )
30	29	fmpo 6202	. . 3 |- ( A. x e. J A. y e. K ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. L <-> ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) : ( J X. K ) --> L )
31	28, 30	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) : ( J X. K ) --> L )
32		eropr.12	. . . 4 |- .+^ = { <. <. x , y >. , z >. | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) }
33	15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23, 32	erovlem 6627	. . 3 |- ( ph -> .+^ = ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) )
34	33	feq1d 5353	. 2 |- ( ph -> ( .+^ : ( J X. K ) --> L <-> ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) : ( J X. K ) --> L ) )
35	31, 34	mpbird 167	1 |- ( ph -> .+^ : ( J X. K ) --> L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E!weu 2026   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3130   class class class wbr 4004   X. cxp 4625   iotacio 5177   -->wf 5213  (class class class)co 5875   {coprab 5876   e. cmpo 5877   Er wer 6532   [cec 6533   /.cqs 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541

This theorem is referenced by:  eroprf2  6629