Theorem fcdmnn0fsuppg 9571

Description: Version of fcdmnn0fsupp 9569 avoiding ax-coll 4230 by assuming 𝐹 is a set rather than its domain 𝐼. (Contributed by SN, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0fsuppg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem fcdmnn0fsuppg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 5516	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
2		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		c0ex 8284	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4		funisfsupp 7257	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
5	3, 4	mp3an3 1363	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
6	1, 2, 5	syl2an2 598	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
7		fcdmnn0suppg 9570	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))
8	7	eleq1d 2303	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 supp 0) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
9	6, 8	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   class class class wbr 4114  ^◡ccnv 4753   “ cima 4757  Fun wfun 5351  ⟶wf 5353  (class class class)co 6058   supp csupp 6448  Fincfn 6988   finSupp cfsupp 7251  0cc0 8143  ℕcn 9257  ℕ₀cn0 9516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-supp 6449  df-fsupp 7252  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-inn 9258  df-n0 9517

This theorem is referenced by:  psrbagfsupp  14948