ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnoei GIF version

Theorem fnoei 6455
Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnoei โ†‘o Fn (On ร— On)

Proof of Theorem fnoei
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oexpi 6425 . 2 โ†‘o = (๐‘ฅ โˆˆ On, ๐‘ฆ โˆˆ On โ†ฆ (rec((๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)), 1o)โ€˜๐‘ฆ))
2 vex 2742 . . 3 ๐‘ฆ โˆˆ V
3 1on 6426 . . . . 5 1o โˆˆ On
43elexi 2751 . . . 4 1o โˆˆ V
5 vex 2742 . . . . . 6 ๐‘ง โˆˆ V
6 vex 2742 . . . . . 6 ๐‘ฅ โˆˆ V
7 omexg 6454 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ V โˆง ๐‘ฅ โˆˆ V) โ†’ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ V)
85, 6, 7mp2an 426 . . . . 5 (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ V
9 eqid 2177 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)) = (๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ))
108, 9fnmpti 5346 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)) Fn V
114, 10rdgexg 6392 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ V โ†’ (rec((๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)), 1o)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V)
122, 11ax-mp 5 . 2 (rec((๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ)), 1o)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
131, 12fnmpoi 6207 1 โ†‘o Fn (On ร— On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2739   โ†ฆ cmpt 4066  Oncon0 4365   ร— cxp 4626   Fn wfn 5213  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  reccrdg 6372  1oc1o 6412   ยทo comu 6417   โ†‘o coei 6418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-oexpi 6425
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator