Theorem fnoei 6400

Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnoei	⊢ ↑o Fn (On × On)

Proof of Theorem fnoei

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oexpi 6370	. 2 ⊢ ↑o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦))
2		vex 2715	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		1on 6371	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
4	3	elexi 2724	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
5		vex 2715	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
6		vex 2715	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		omexg 6399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑧 ·o 𝑥) ∈ V)
8	5, 6, 7	mp2an 423	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ·o 𝑥) ∈ V
9		eqid 2157	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)) = (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥))
10	8, 9	fnmpti 5299	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)) Fn V
11	4, 10	rdgexg 6337	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V)
12	2, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 ·o 𝑥)), 1o)‘𝑦) ∈ V
13	1, 12	fnmpoi 6153	1 ⊢ ↑o Fn (On × On)

Syntax hints:   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   ↦ cmpt 4026  Oncon0 4324   × cxp 4585   Fn wfn 5166  ‘cfv 5171  (class class class)co 5825  reccrdg 6317  1_oc1o 6357   ·_o comu 6362   ↑_o coei 6363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-omul 6369  df-oexpi 6370

This theorem is referenced by: (None)