Theorem cnfldsub 14539

Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldsub	|- - = ( -g ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldsub

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 14524	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2		cnfldadd 14526	. . . . 5 |- + = ( +g ` ℂfld )
3		eqid 2229	. . . . 5 |- ( invg ` ℂfld ) = ( invg ` ℂfld )
4		eqid 2229	. . . . 5 |- ( -g ` ℂfld ) = ( -g ` ℂfld )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13579	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) = ( x + ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) ) )
6		cnfldneg 14537	. . . . . 6 |- ( y e. CC -> ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) = -u y )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) = -u y )
8	7	oveq2d 6017	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) ) = ( x + -u y ) )
9		negsub 8394	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + -u y ) = ( x - y ) )
10	5, 8, 9	3eqtrrd 2267	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) = ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
11	10	mpoeq3ia 6069	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
12		subf 8348	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
13		ffn 5473	. . 3 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> - Fn ( CC X. CC ) )
14		fnovim 6113	. . 3 |- ( - Fn ( CC X. CC ) -> - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) ) )
15	12, 13, 14	mp2b 8	. 2 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) )
16		cnring 14534	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
17		ringgrp 13964	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
19	1, 4	grpsubf 13612	. . . 4 |- (ℂfld e. Grp -> ( -g ` ℂfld ) : ( CC X. CC ) --> CC )
20		ffn 5473	. . . 4 |- ( ( -g ` ℂfld ) : ( CC X. CC ) --> CC -> ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC ) )
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . 3 |- ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC )
22		fnovim 6113	. . 3 |- ( ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC ) -> ( -g ` ℂfld ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 |- ( -g ` ℂfld ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
24	11, 15, 23	3eqtr4i 2260	1 |- - = ( -g ` ℂfld )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   X. cxp 4717   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003   CCcc 7997   + caddc 8002   - cmin 8317   -ucneg 8318   Grpcgrp 13533   invgcminusg 13534   -gcsg 13535   Ringcrg 13959  ℂ_fldccnfld 14520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-addf 8121  ax-mulf 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579  df-uz 9723  df-rp 9850  df-fz 10205  df-cj 11353  df-abs 11510  df-struct 13034  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-starv 13125  df-tset 13129  df-ple 13130  df-ds 13132  df-unif 13133  df-0g 13291  df-topgen 13293  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-sbg 13538  df-cmn 13823  df-mgp 13884  df-ring 13961  df-cring 13962  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-fg 14513  df-metu 14514  df-cnfld 14521

This theorem is referenced by:  zringsubgval  14569  zndvds  14613