Theorem cnfldsub 15021

Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldsub	|- - = ( -g ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldsub

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 15006	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2		cnfldadd 15008	. . . . 5 |- + = ( +g ` ℂfld )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invg ` ℂfld ) = ( invg ` ℂfld )
4		eqid 2238	. . . . 5 |- ( -g ` ℂfld ) = ( -g ` ℂfld )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13910	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) = ( x + ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) ) )
6		cnfldneg 15019	. . . . . 6 |- ( y e. CC -> ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) = -u y )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) = -u y )
8	7	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) ) = ( x + -u y ) )
9		negsub 8581	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + -u y ) = ( x - y ) )
10	5, 8, 9	3eqtrrd 2276	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) = ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
11	10	mpoeq3ia 6156	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
12		subf 8535	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
13		ffn 5536	. . 3 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> - Fn ( CC X. CC ) )
14		fnovim 6200	. . 3 |- ( - Fn ( CC X. CC ) -> - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) ) )
15	12, 13, 14	mp2b 8	. 2 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) )
16		cnring 15016	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
17		ringgrp 14412	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
19	1, 4	grpsubf 13943	. . . 4 |- (ℂfld e. Grp -> ( -g ` ℂfld ) : ( CC X. CC ) --> CC )
20		ffn 5536	. . . 4 |- ( ( -g ` ℂfld ) : ( CC X. CC ) --> CC -> ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC ) )
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . 3 |- ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC )
22		fnovim 6200	. . 3 |- ( ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC ) -> ( -g ` ℂfld ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 |- ( -g ` ℂfld ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
24	11, 15, 23	3eqtr4i 2269	1 |- - = ( -g ` ℂfld )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   X. cxp 4774   Fn wfn 5375   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   CCcc 8183   + caddc 8188   - cmin 8504   -ucneg 8505   Grpcgrp 13864   invgcminusg 13865   -gcsg 13866   Ringcrg 14407  ℂ_fldccnfld 15002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-cj 11629  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-starv 13505  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-unif 13513  df-0g 13671  df-topgen 13673  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-sbg 13869  df-cmn 14179  df-mgp 14325  df-ring 14409  df-cring 14410  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-fg 14995  df-metu 14996  df-cnfld 15003

This theorem is used by:  zringsubgval  15049  zndvds  15093