Theorem cnfldsub 14887

Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldsub	|- - = ( -g ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldsub

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 14872	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2		cnfldadd 14874	. . . . 5 |- + = ( +g ` ℂfld )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invg ` ℂfld ) = ( invg ` ℂfld )
4		eqid 2238	. . . . 5 |- ( -g ` ℂfld ) = ( -g ` ℂfld )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13831	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) = ( x + ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) ) )
6		cnfldneg 14885	. . . . . 6 |- ( y e. CC -> ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) = -u y )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) = -u y )
8	7	oveq2d 6094	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) ) = ( x + -u y ) )
9		negsub 8567	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + -u y ) = ( x - y ) )
10	5, 8, 9	3eqtrrd 2276	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) = ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
11	10	mpoeq3ia 6146	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
12		subf 8521	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
13		ffn 5531	. . 3 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> - Fn ( CC X. CC ) )
14		fnovim 6190	. . 3 |- ( - Fn ( CC X. CC ) -> - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) ) )
15	12, 13, 14	mp2b 8	. 2 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) )
16		cnring 14882	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
17		ringgrp 14282	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
19	1, 4	grpsubf 13864	. . . 4 |- (ℂfld e. Grp -> ( -g ` ℂfld ) : ( CC X. CC ) --> CC )
20		ffn 5531	. . . 4 |- ( ( -g ` ℂfld ) : ( CC X. CC ) --> CC -> ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC ) )
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . 3 |- ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC )
22		fnovim 6190	. . 3 |- ( ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC ) -> ( -g ` ℂfld ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 |- ( -g ` ℂfld ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
24	11, 15, 23	3eqtr4i 2269	1 |- - = ( -g ` ℂfld )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   X. cxp 4770   Fn wfn 5370   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   e. cmpo 6080   CCcc 8170   + caddc 8175   - cmin 8490   -ucneg 8491   Grpcgrp 13785   invgcminusg 13786   -gcsg 13787   Ringcrg 14277  ℂ_fldccnfld 14868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-addf 8294  ax-mulf 8295

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-5 9348  df-6 9349  df-7 9350  df-8 9351  df-9 9352  df-n0 9546  df-z 9627  df-dec 9760  df-uz 9904  df-rp 10037  df-fz 10394  df-cj 11588  df-abs 11746  df-struct 13335  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-starv 13426  df-tset 13430  df-ple 13431  df-ds 13433  df-unif 13434  df-0g 13592  df-topgen 13594  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788  df-minusg 13789  df-sbg 13790  df-cmn 14069  df-mgp 14198  df-ring 14279  df-cring 14280  df-bl 14858  df-mopn 14859  df-fg 14861  df-metu 14862  df-cnfld 14869

This theorem is referenced by:  zringsubgval  14915  zndvds  14959