Theorem cnfldsub 13554

Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldsub	|- - = ( -g ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldsub

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 13544	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2		cnfldadd 13545	. . . . 5 |- + = ( +g ` ℂfld )
3		eqid 2177	. . . . 5 |- ( invg ` ℂfld ) = ( invg ` ℂfld )
4		eqid 2177	. . . . 5 |- ( -g ` ℂfld ) = ( -g ` ℂfld )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 12924	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) = ( x + ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) ) )
6		cnfldneg 13552	. . . . . 6 |- ( y e. CC -> ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) = -u y )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) = -u y )
8	7	oveq2d 5893	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + ( ( invg ` ℂfld ) ` y ) ) = ( x + -u y ) )
9		negsub 8207	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + -u y ) = ( x - y ) )
10	5, 8, 9	3eqtrrd 2215	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) = ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
11	10	mpoeq3ia 5942	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
12		subf 8161	. . 3 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
13		ffn 5367	. . 3 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> - Fn ( CC X. CC ) )
14		fnovim 5985	. . 3 |- ( - Fn ( CC X. CC ) -> - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) ) )
15	12, 13, 14	mp2b 8	. 2 |- - = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x - y ) )
16		cnring 13549	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
17		ringgrp 13189	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
19	1, 4	grpsubf 12954	. . . 4 |- (ℂfld e. Grp -> ( -g ` ℂfld ) : ( CC X. CC ) --> CC )
20		ffn 5367	. . . 4 |- ( ( -g ` ℂfld ) : ( CC X. CC ) --> CC -> ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC ) )
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . 3 |- ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC )
22		fnovim 5985	. . 3 |- ( ( -g ` ℂfld ) Fn ( CC X. CC ) -> ( -g ` ℂfld ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 |- ( -g ` ℂfld ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x ( -g ` ℂfld ) y ) )
24	11, 15, 23	3eqtr4i 2208	1 |- - = ( -g ` ℂfld )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   X. cxp 4626   Fn wfn 5213   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   e. cmpo 5879   CCcc 7811   + caddc 7816   - cmin 8130   -ucneg 8131   Grpcgrp 12882   invgcminusg 12883   -gcsg 12884   Ringcrg 13184  ℂ_fldccnfld 13540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-dec 9387  df-uz 9531  df-fz 10011  df-cj 10853  df-struct 12466  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-starv 12553  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-cmn 13095  df-mgp 13136  df-ring 13186  df-cring 13187  df-icnfld 13541

This theorem is referenced by:  zringsubgval  13580