ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfioo2 Unicode version

Theorem dfioo2 9453
Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfioo2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
Distinct variable group:    x, w, y

Proof of Theorem dfioo2
StepHypRef Expression
1 ioof 9450 . . 3  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5174 . . 3  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 fnovim 5767 . . 3  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  (,)  =  (
x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 8 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  ( x (,) y ) )
5 iooval2 9394 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
65mpt2eq3ia 5728 . 2  |-  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  ( x (,) y ) )  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
74, 6eqtri 2109 1  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1290   {crab 2364   ~Pcpw 3433   class class class wbr 3851    X. cxp 4450    Fn wfn 5023   -->wf 5024  (class class class)co 5666    |-> cmpt2 5668   RRcr 7410   RR*cxr 7582    < clt 7583   (,)cioo 9367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-ioo 9371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator