Theorem dfioo2 10253

Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfioo2	|- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )

Distinct variable group:   x, w, y

Proof of Theorem dfioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 10250	. . 3 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
2		ffn 5489	. . 3 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
3		fnovim 6140	. . 3 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> ( x (,) y ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> ( x (,) y ) )
5		iooval2 10194	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x (,) y ) = { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )
6	5	mpoeq3ia 6096	. 2 |- ( x e. RR* , y e. RR* |-> ( x (,) y ) ) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )
7	4, 6	eqtri 2252	1 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   {crab 2515   ~Pcpw 3656   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   Fn wfn 5328   -->wf 5329  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   RRcr 8074   RR*cxr 8255   < clt 8256   (,)cioo 10167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-ioo 10171

This theorem is referenced by: (None)