Theorem dfioo2 10376

Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfioo2	|- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )

Distinct variable group:   x, w, y

Proof of Theorem dfioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 10373	. . 3 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
2		ffn 5533	. . 3 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
3		fnovim 6197	. . 3 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> ( x (,) y ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> ( x (,) y ) )
5		iooval2 10317	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x (,) y ) = { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )
6	5	mpoeq3ia 6153	. 2 |- ( x e. RR* , y e. RR* |-> ( x (,) y ) ) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )
7	4, 6	eqtri 2259	1 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   {crab 2532   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   -->wf 5373  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   RRcr 8178   RR*cxr 8359   < clt 8360   (,)cioo 10290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-ioo 10294

This theorem is used by: (None)