ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfioo2 Unicode version

Theorem dfioo2 10003
Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfioo2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
Distinct variable group:    x, w, y

Proof of Theorem dfioo2
StepHypRef Expression
1 ioof 10000 . . 3  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5384 . . 3  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 fnovim 6004 . . 3  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  (,)  =  (
x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 8 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  ( x (,) y ) )
5 iooval2 9944 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  =  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
65mpoeq3ia 5960 . 2  |-  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  ( x (,) y ) )  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
74, 6eqtri 2210 1  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { w  e.  RR  |  ( x  <  w  /\  w  <  y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1364   {crab 2472   ~Pcpw 3590   class class class wbr 4018    X. cxp 4642    Fn wfn 5230   -->wf 5231  (class class class)co 5895    e. cmpo 5897   RRcr 7839   RR*cxr 8020    < clt 8021   (,)cioo 9917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-ioo 9921
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator