Theorem dfioo2 9910

Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfioo2	|- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )

Distinct variable group:   x, w, y

Proof of Theorem dfioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 9907	. . 3 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
2		ffn 5337	. . 3 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
3		fnovim 5950	. . 3 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> ( x (,) y ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> ( x (,) y ) )
5		iooval2 9851	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x (,) y ) = { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )
6	5	mpoeq3ia 5907	. 2 |- ( x e. RR* , y e. RR* |-> ( x (,) y ) ) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )
7	4, 6	eqtri 2186	1 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { w e. RR | ( x < w /\ w < y ) } )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   {crab 2448   ~Pcpw 3559   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   Fn wfn 5183   -->wf 5184  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   RRcr 7752   RR*cxr 7932   < clt 7933   (,)cioo 9824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-ioo 9828

This theorem is referenced by: (None)