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Theorem frecabcl 6394
Description: The class abstraction from df-frec 6386 exists. Unlike frecabex 6393 the function  F only needs to be defined on  S, not all sets. This is a lemma for other finite recursion proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecabcl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
frecabcl.g  |-  ( ph  ->  G : N --> S )
frecabcl.fs  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( F `  y )  e.  S )
frecabcl.as  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Assertion
Ref Expression
frecabcl  |-  ( ph  ->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) }  e.  S )
Distinct variable groups:    A, m, x   
m, F, x, y   
m, G, x, y   
m, N, x, y   
x, S, y    ph, m, x, y
Allowed substitution hints:    A( y)    S( m)

Proof of Theorem frecabcl
Dummy variables  k  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecabcl.as . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
21adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  A  e.  S )
3 peano1 4590 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
4 elex2 2753 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  om  ->  E. a 
a  e.  om )
5 r19.9rmv 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  a  e.  om  ->  ( x  e.  A  <->  E. m  e.  om  x  e.  A ) )
63, 4, 5mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  <->  E. m  e.  om  x  e.  A
)
7 frecabcl.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : N --> S )
8 fdm 5367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : N --> S  ->  dom  G  =  N )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  G  =  N )
109adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  dom  G  =  N )
11 eqeq2 2187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  (/)  ->  ( dom 
G  =  N  <->  dom  G  =  (/) ) )
1211adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( dom  G  =  N  <->  dom  G  =  (/) ) )
1310, 12mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  dom  G  =  (/) )
1413adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  dom  G  =  (/) )
1514biantrurd 305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  (
x  e.  A  <->  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )
16 peano3 4592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  om  ->  suc  m  =/=  (/) )
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  suc  m  =/=  (/) )
1817, 14neeqtrrd 2377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  suc  m  =/=  dom  G )
1918necomd 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  dom  G  =/=  suc  m )
2019neneqd 2368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  -.  dom  G  =  suc  m
)
2120intnanrd 932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  -.  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) )
22 biorf 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  ->  (
( dom  G  =  (/) 
/\  x  e.  A
)  <->  ( ( dom 
G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
2321, 22syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  (
( dom  G  =  (/) 
/\  x  e.  A
)  <->  ( ( dom 
G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
2415, 23bitrd 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  (/) )  /\  m  e.  om )  ->  (
x  e.  A  <->  ( ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
2524rexbidva 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( E. m  e.  om  x  e.  A  <->  E. m  e.  om  ( ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
266, 25bitrid 192 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( x  e.  A  <->  E. m  e.  om  ( ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
27 r19.44mv 3517 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  a  e.  om  ->  ( E. m  e. 
om  ( ( dom 
G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
283, 4, 27mp2b 8 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  om  (
( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) )  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )
2926, 28bitrdi 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
3029alrimiv 1874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  A. x
( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
312, 30jca 306 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( A  e.  S  /\  A. x
( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
32 eleq1 2240 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
z  e.  S  <->  A  e.  S ) )
33 eleq2 2241 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  A ) )
3433bibi1d 233 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  e.  z  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )  <-> 
( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
3534albidv 1824 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )  <->  A. x ( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
3632, 35anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )  <->  ( A  e.  S  /\  A. x
( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
3736spcegv 2825 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  (
( A  e.  S  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
382, 31, 37sylc 62 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
39 fveq2 5511 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
4039eleq1d 2246 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  y
)  e.  S  <->  ( F `  ( G `  k
) )  e.  S
) )
41 frecabcl.fs . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( F `  y )  e.  S )
4241ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  A. y  e.  S  ( F `  y )  e.  S )
437ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  G : N --> S )
44 vex 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  k  e. 
_V
4544sucid 4414 . . . . . . . . . . 11  |-  k  e. 
suc  k
46 eleq2 2241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  suc  k  -> 
( k  e.  N  <->  k  e.  suc  k ) )
4745, 46mpbiri 168 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  suc  k  -> 
k  e.  N )
4847adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
k  e.  N )
4943, 48ffvelcdmd 5648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( G `  k
)  e.  S )
5040, 42, 49rspcdva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( F `  ( G `  k )
)  e.  S )
51 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  k  e.  om )
5243, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  dom  G  =  N )
5352adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  dom  G  =  N )
54 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  N  =  suc  k )
5553, 54eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  dom  G  =  suc  k )
56 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )
5755, 56jca 306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  ( dom  G  =  suc  k  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k ) ) ) )
58 suceq 4399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  k  ->  suc  m  =  suc  k )
5958eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  ( dom  G  =  suc  m  <->  dom 
G  =  suc  k
) )
60 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
6160fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  ( G `  m ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
6261eleq2d 2247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  (
x  e.  ( F `
 ( G `  m ) )  <->  x  e.  ( F `  ( G `
 k ) ) ) )
6359, 62anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  <->  ( dom  G  =  suc  k  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k
) ) ) ) )
6463rspcev 2841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( dom  G  =  suc  k  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 k ) ) ) )  ->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) ) )
6551, 57, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) )  ->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) ) )
6665ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  ->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) ) )
67 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )
6867adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )
6952ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  dom  G  =  N )
70 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  dom  G  =  suc  m )
71 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  N  =  suc  k )
7269, 70, 713eqtr3rd 2219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  suc  k  =  suc  m )
73 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
k  e.  om )
7473ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  k  e.  om )
75 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  m  e.  om )
76 peano4 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( suc  k  =  suc  m  <->  k  =  m ) )
7774, 75, 76syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  ( suc  k  =  suc  m  <->  k  =  m ) )
7872, 77mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  k  =  m )
7978fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  m ) )
8079fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  k
) )  =  ( F `  ( G `
 m ) ) )
8180eleq2d 2247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )
8268, 81mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  /\  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `
 k ) ) )
8382ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  /\  m  e.  om )  ->  (
( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) ) )
8483rexlimdva 2594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  ->  x  e.  ( F `  ( G `  k )
) ) )
8566, 84impbid 129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  <->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) ) )
8685alrimiv 1874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) ) )
87 peano3 4592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  =/=  (/) )
8873, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  suc  k  =/=  (/) )
89 neeq1 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  =  suc  k  -> 
( N  =/=  (/)  <->  suc  k  =/=  (/) ) )
9089adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( N  =/=  (/)  <->  suc  k  =/=  (/) ) )
9188, 90mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  N  =/=  (/) )
9252, 91eqnetrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  dom  G  =/=  (/) )
9392neneqd 2368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  -.  dom  G  =  (/) )
9493intnanrd 932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  -.  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A
) )
95 biorf 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A
)  ->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  <-> 
( ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A )  \/  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) ) ) )
9694, 95syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  <->  ( ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A )  \/  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) ) ) ) )
97 orcom 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A
)  \/  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) ) )  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )
9896, 97bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
9998bibi2d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) ) )  <->  ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
10099albidv 1824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( A. x ( x  e.  ( F `
 ( G `  k ) )  <->  E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) ) )  <->  A. x
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
10186, 100mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )
10250, 101jca 306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  -> 
( ( F `  ( G `  k ) )  e.  S  /\  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
103 eleq1 2240 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( z  e.  S  <->  ( F `  ( G `  k ) )  e.  S ) )
104 eleq2 2241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  ( F `  ( G `  k ) ) ) )
105104bibi1d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( (
x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )  <-> 
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
106105albidv 1824 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) )  <->  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
107103, 106anbi12d 473 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( (
z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )  <->  ( ( F `
 ( G `  k ) )  e.  S  /\  A. x
( x  e.  ( F `  ( G `
 k ) )  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
108107spcegv 2825 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 k ) )  e.  S  ->  (
( ( F `  ( G `  k ) )  e.  S  /\  A. x ( x  e.  ( F `  ( G `  k )
)  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) )  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
10950, 102, 108sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  om )  /\  N  =  suc  k )  ->  E. z ( z  e.  S  /\  A. x
( x  e.  z  <-> 
( E. m  e. 
om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
110109ex 115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  om )  ->  ( N  =  suc  k  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
111110rexlimdva 2594 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
om  N  =  suc  k  ->  E. z ( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) ) )
112111imp 124 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  om  N  =  suc  k )  ->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
113 frecabcl.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
114 nn0suc 4600 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  ( N  =  (/)  \/  E. k  e.  om  N  =  suc  k ) )
115113, 114syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  =  (/)  \/ 
E. k  e.  om  N  =  suc  k ) )
11638, 112, 115mpjaodan 798 . 2  |-  ( ph  ->  E. z ( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m )
) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
117 clabel 2304 . 2  |-  ( { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) }  e.  S  <->  E. z
( z  e.  S  /\  A. x ( x  e.  z  <->  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `  m ) ) )  \/  ( dom  G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) ) ) )
118116, 117sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  { x  |  ( E. m  e.  om  ( dom  G  =  suc  m  /\  x  e.  ( F `  ( G `
 m ) ) )  \/  ( dom 
G  =  (/)  /\  x  e.  A ) ) }  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708   A.wal 1351    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   {cab 2163    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   (/)c0 3422   suc csuc 4362   omcom 4586   dom cdm 4623   -->wf 5208   ` cfv 5212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220
This theorem is referenced by:  freccllem  6397  frecfcllem  6399  frecsuclem  6401
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