Theorem frecabcl 6394

Description: The class abstraction from df-frec 6386 exists. Unlike frecabex 6393 the function F only needs to be defined on S, not all sets. This is a lemma for other finite recursion proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecabcl.n	|- ( ph -> N e. om )
frecabcl.g	|- ( ph -> G : N --> S )
frecabcl.fs	|- ( ph -> A. y e. S ( F ` y ) e. S )
frecabcl.as	|- ( ph -> A e. S )

Assertion

Ref	Expression
frecabcl	|- ( ph -> { x | ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) } e. S )

Distinct variable groups:   A, m, x   m, F, x, y   m, G, x, y   m, N, x, y   x, S, y   ph, m, x, y

Allowed substitution hints:   A( y)   S( m)

Proof of Theorem frecabcl

Dummy variables k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecabcl.as	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> A e. S )
3		peano1 4590	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
4		elex2 2753	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. om -> E. a a e. om )
5		r19.9rmv 3514	. . . . . . . . 9 |- ( E. a a e. om -> ( x e. A <-> E. m e. om x e. A ) )
6	3, 4, 5	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( x e. A <-> E. m e. om x e. A )
7		frecabcl.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : N --> S )
8		fdm 5367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G : N --> S -> dom G = N )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom G = N )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> dom G = N )
11		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = (/) -> ( dom G = N <-> dom G = (/) ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( dom G = N <-> dom G = (/) ) )
13	10, 12	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> dom G = (/) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> dom G = (/) )
15	14	biantrurd 305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> ( x e. A <-> ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) )
16		peano3 4592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. om -> suc m =/= (/) )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> suc m =/= (/) )
18	17, 14	neeqtrrd 2377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> suc m =/= dom G )
19	18	necomd 2433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> dom G =/= suc m )
20	19	neneqd 2368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> -. dom G = suc m )
21	20	intnanrd 932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> -. ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) )
22		biorf 744	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) -> ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) <-> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) <-> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
24	15, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> ( x e. A <-> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
25	24	rexbidva 2474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( E. m e. om x e. A <-> E. m e. om ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
26	6, 25	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( x e. A <-> E. m e. om ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
27		r19.44mv 3517	. . . . . . . 8 |- ( E. a a e. om -> ( E. m e. om ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
28	3, 4, 27	mp2b 8	. . . . . . 7 |- ( E. m e. om ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) )
29	26, 28	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
30	29	alrimiv 1874	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
31	2, 30	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( A e. S /\ A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
32		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z e. S <-> A e. S ) )
33		eleq2 2241	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( x e. z <-> x e. A ) )
34	33	bibi1d 233	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) <-> ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
35	34	albidv 1824	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) <-> A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
36	32, 35	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) <-> ( A e. S /\ A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
37	36	spcegv 2825	. . . 4 |- ( A e. S -> ( ( A e. S /\ A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
38	2, 31, 37	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
39		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( G ` k ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
40	39	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( F ` y ) e. S <-> ( F ` ( G ` k ) ) e. S ) )
41		frecabcl.fs	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. S ( F ` y ) e. S )
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> A. y e. S ( F ` y ) e. S )
43	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> G : N --> S )
44		vex 2740	. . . . . . . . . . . 12 |- k e. _V
45	44	sucid 4414	. . . . . . . . . . 11 |- k e. suc k
46		eleq2 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = suc k -> ( k e. N <-> k e. suc k ) )
47	45, 46	mpbiri 168	. . . . . . . . . 10 |- ( N = suc k -> k e. N )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> k e. N )
49	43, 48	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( G ` k ) e. S )
50	40, 42, 49	rspcdva 2846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( F ` ( G ` k ) ) e. S )
51		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> k e. om )
52	43, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> dom G = N )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> dom G = N )
54		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> N = suc k )
55	53, 54	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> dom G = suc k )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` k ) ) )
57	55, 56	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> ( dom G = suc k /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
58		suceq 4399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = k -> suc m = suc k )
59	58	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = k -> ( dom G = suc m <-> dom G = suc k ) )
60		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = k -> ( G ` m ) = ( G ` k ) )
61	60	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = k -> ( F ` ( G ` m ) ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
62	61	eleq2d 2247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = k -> ( x e. ( F ` ( G ` m ) ) <-> x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
63	59, 62	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) <-> ( dom G = suc k /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) ) )
64	63	rspcev 2841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( dom G = suc k /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) ) -> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) )
65	51, 57, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) )
66	65	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) -> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) )
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` m ) ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` m ) ) )
69	52	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> dom G = N )
70		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> dom G = suc m )
71		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> N = suc k )
72	69, 70, 71	3eqtr3rd 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> suc k = suc m )
73		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> k e. om )
74	73	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> k e. om )
75		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> m e. om )
76		peano4 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. om /\ m e. om ) -> ( suc k = suc m <-> k = m ) )
77	74, 75, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> ( suc k = suc m <-> k = m ) )
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> k = m )
79	78	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` m ) )
80	79	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` k ) ) = ( F ` ( G ` m ) ) )
81	80	eleq2d 2247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) )
82	68, 81	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` k ) ) )
83	82	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) -> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
84	83	rexlimdva 2594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
85	66, 84	impbid 129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) )
86	85	alrimiv 1874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) )
87		peano3 4592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> suc k =/= (/) )
88	73, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> suc k =/= (/) )
89		neeq1 2360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N = suc k -> ( N =/= (/) <-> suc k =/= (/) ) )
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( N =/= (/) <-> suc k =/= (/) ) )
91	88, 90	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> N =/= (/) )
92	52, 91	eqnetrd 2371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> dom G =/= (/) )
93	92	neneqd 2368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> -. dom G = (/) )
94	93	intnanrd 932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> -. ( dom G = (/) /\ x e. A ) )
95		biorf 744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( dom G = (/) /\ x e. A ) -> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) <-> ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) \/ E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) <-> ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) \/ E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) ) )
97		orcom 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) \/ E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) )
98	96, 97	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
99	98	bibi2d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) <-> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
100	99	albidv 1824	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) <-> A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
101	86, 100	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
102	50, 101	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) e. S /\ A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
103		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( z e. S <-> ( F ` ( G ` k ) ) e. S ) )
104		eleq2 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( x e. z <-> x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
105	104	bibi1d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) <-> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
106	105	albidv 1824	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) <-> A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
107	103, 106	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( G ` k ) ) e. S /\ A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
108	107	spcegv 2825	. . . . . . 7 |- ( ( F ` ( G ` k ) ) e. S -> ( ( ( F ` ( G ` k ) ) e. S /\ A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
109	50, 102, 108	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
110	109	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( N = suc k -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
111	110	rexlimdva 2594	. . . 4 |- ( ph -> ( E. k e. om N = suc k -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
112	111	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ E. k e. om N = suc k ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
113		frecabcl.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. om )
114		nn0suc 4600	. . . 4 |- ( N e. om -> ( N = (/) \/ E. k e. om N = suc k ) )
115	113, 114	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( N = (/) \/ E. k e. om N = suc k ) )
116	38, 112, 115	mpjaodan 798	. 2 |- ( ph -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
117		clabel 2304	. 2 |- ( { x | ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) } e. S <-> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
118	116, 117	sylibr 134	1 |- ( ph -> { x | ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) } e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   (/)c0 3422   suc csuc 4362   omcom 4586   dom cdm 4623   -->wf 5208   ` cfv 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220

This theorem is referenced by:  freccllem  6397  frecfcllem  6399  frecsuclem  6401