Theorem frecabcl 6378

Description: The class abstraction from df-frec 6370 exists. Unlike frecabex 6377 the function F only needs to be defined on S, not all sets. This is a lemma for other finite recursion proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecabcl.n	|- ( ph -> N e. om )
frecabcl.g	|- ( ph -> G : N --> S )
frecabcl.fs	|- ( ph -> A. y e. S ( F ` y ) e. S )
frecabcl.as	|- ( ph -> A e. S )

Assertion

Ref	Expression
frecabcl	|- ( ph -> { x | ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) } e. S )

Distinct variable groups:   A, m, x   m, F, x, y   m, G, x, y   m, N, x, y   x, S, y   ph, m, x, y

Allowed substitution hints:   A( y)   S( m)

Proof of Theorem frecabcl

Dummy variables k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecabcl.as	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> A e. S )
3		peano1 4578	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
4		elex2 2746	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. om -> E. a a e. om )
5		r19.9rmv 3506	. . . . . . . . 9 |- ( E. a a e. om -> ( x e. A <-> E. m e. om x e. A ) )
6	3, 4, 5	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( x e. A <-> E. m e. om x e. A )
7		frecabcl.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : N --> S )
8		fdm 5353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G : N --> S -> dom G = N )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom G = N )
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> dom G = N )
11		eqeq2 2180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = (/) -> ( dom G = N <-> dom G = (/) ) )
12	11	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( dom G = N <-> dom G = (/) ) )
13	10, 12	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> dom G = (/) )
14	13	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> dom G = (/) )
15	14	biantrurd 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> ( x e. A <-> ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) )
16		peano3 4580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. om -> suc m =/= (/) )
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> suc m =/= (/) )
18	17, 14	neeqtrrd 2370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> suc m =/= dom G )
19	18	necomd 2426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> dom G =/= suc m )
20	19	neneqd 2361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> -. dom G = suc m )
21	20	intnanrd 927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> -. ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) )
22		biorf 739	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) -> ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) <-> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) <-> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
24	15, 23	bitrd 187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N = (/) ) /\ m e. om ) -> ( x e. A <-> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
25	24	rexbidva 2467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( E. m e. om x e. A <-> E. m e. om ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
26	6, 25	syl5bb 191	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( x e. A <-> E. m e. om ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
27		r19.44mv 3509	. . . . . . . 8 |- ( E. a a e. om -> ( E. m e. om ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
28	3, 4, 27	mp2b 8	. . . . . . 7 |- ( E. m e. om ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) )
29	26, 28	bitrdi 195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
30	29	alrimiv 1867	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
31	2, 30	jca 304	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( A e. S /\ A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
32		eleq1 2233	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z e. S <-> A e. S ) )
33		eleq2 2234	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( x e. z <-> x e. A ) )
34	33	bibi1d 232	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) <-> ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
35	34	albidv 1817	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) <-> A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
36	32, 35	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) <-> ( A e. S /\ A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
37	36	spcegv 2818	. . . 4 |- ( A e. S -> ( ( A e. S /\ A. x ( x e. A <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
38	2, 31, 37	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
39		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( G ` k ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
40	39	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( F ` y ) e. S <-> ( F ` ( G ` k ) ) e. S ) )
41		frecabcl.fs	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. S ( F ` y ) e. S )
42	41	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> A. y e. S ( F ` y ) e. S )
43	7	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> G : N --> S )
44		vex 2733	. . . . . . . . . . . 12 |- k e. _V
45	44	sucid 4402	. . . . . . . . . . 11 |- k e. suc k
46		eleq2 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = suc k -> ( k e. N <-> k e. suc k ) )
47	45, 46	mpbiri 167	. . . . . . . . . 10 |- ( N = suc k -> k e. N )
48	47	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> k e. N )
49	43, 48	ffvelrnd 5632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( G ` k ) e. S )
50	40, 42, 49	rspcdva 2839	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( F ` ( G ` k ) ) e. S )
51		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> k e. om )
52	43, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> dom G = N )
53	52	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> dom G = N )
54		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> N = suc k )
55	53, 54	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> dom G = suc k )
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` k ) ) )
57	55, 56	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> ( dom G = suc k /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
58		suceq 4387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = k -> suc m = suc k )
59	58	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = k -> ( dom G = suc m <-> dom G = suc k ) )
60		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = k -> ( G ` m ) = ( G ` k ) )
61	60	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = k -> ( F ` ( G ` m ) ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
62	61	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = k -> ( x e. ( F ` ( G ` m ) ) <-> x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
63	59, 62	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) <-> ( dom G = suc k /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) ) )
64	63	rspcev 2834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( dom G = suc k /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) ) -> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) )
65	51, 57, 64	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) )
66	65	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) -> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) )
67		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` m ) ) )
68	67	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` m ) ) )
69	52	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> dom G = N )
70		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> dom G = suc m )
71		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> N = suc k )
72	69, 70, 71	3eqtr3rd 2212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> suc k = suc m )
73		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> k e. om )
74	73	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> k e. om )
75		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> m e. om )
76		peano4 4581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. om /\ m e. om ) -> ( suc k = suc m <-> k = m ) )
77	74, 75, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> ( suc k = suc m <-> k = m ) )
78	72, 77	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> k = m )
79	78	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` m ) )
80	79	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` k ) ) = ( F ` ( G ` m ) ) )
81	80	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) )
82	68, 81	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) /\ ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` k ) ) )
83	82	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) /\ m e. om ) -> ( ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
84	83	rexlimdva 2587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) -> x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
85	66, 84	impbid 128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) )
86	85	alrimiv 1867	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) )
87		peano3 4580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> suc k =/= (/) )
88	73, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> suc k =/= (/) )
89		neeq1 2353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N = suc k -> ( N =/= (/) <-> suc k =/= (/) ) )
90	89	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( N =/= (/) <-> suc k =/= (/) ) )
91	88, 90	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> N =/= (/) )
92	52, 91	eqnetrd 2364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> dom G =/= (/) )
93	92	neneqd 2361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> -. dom G = (/) )
94	93	intnanrd 927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> -. ( dom G = (/) /\ x e. A ) )
95		biorf 739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( dom G = (/) /\ x e. A ) -> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) <-> ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) \/ E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) <-> ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) \/ E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) ) )
97		orcom 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( dom G = (/) /\ x e. A ) \/ E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) )
98	96, 97	bitrdi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
99	98	bibi2d 231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) <-> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
100	99	albidv 1817	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) ) <-> A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
101	86, 100	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) )
102	50, 101	jca 304	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) e. S /\ A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
103		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( z e. S <-> ( F ` ( G ` k ) ) e. S ) )
104		eleq2 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( x e. z <-> x e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
105	104	bibi1d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) <-> ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
106	105	albidv 1817	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) <-> A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
107	103, 106	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( z = ( F ` ( G ` k ) ) -> ( ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( G ` k ) ) e. S /\ A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
108	107	spcegv 2818	. . . . . . 7 |- ( ( F ` ( G ` k ) ) e. S -> ( ( ( F ` ( G ` k ) ) e. S /\ A. x ( x e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
109	50, 102, 108	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ N = suc k ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
110	109	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( N = suc k -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
111	110	rexlimdva 2587	. . . 4 |- ( ph -> ( E. k e. om N = suc k -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) ) )
112	111	imp 123	. . 3 |- ( ( ph /\ E. k e. om N = suc k ) -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
113		frecabcl.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. om )
114		nn0suc 4588	. . . 4 |- ( N e. om -> ( N = (/) \/ E. k e. om N = suc k ) )
115	113, 114	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( N = (/) \/ E. k e. om N = suc k ) )
116	38, 112, 115	mpjaodan 793	. 2 |- ( ph -> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
117		clabel 2297	. 2 |- ( { x | ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) } e. S <-> E. z ( z e. S /\ A. x ( x e. z <-> ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) ) ) )
118	116, 117	sylibr 133	1 |- ( ph -> { x | ( E. m e. om ( dom G = suc m /\ x e. ( F ` ( G ` m ) ) ) \/ ( dom G = (/) /\ x e. A ) ) } e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   (/)c0 3414   suc csuc 4350   omcom 4574   dom cdm 4611   -->wf 5194   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  freccllem  6381  frecfcllem  6383  frecsuclem  6385