Theorem grpidpropdg 13402

Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, they have the same identity element. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
grpidpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
grpidproddg.k	|- ( ph -> K e. V )
grpidproddg.l	|- ( ph -> L e. W )
grpidpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
grpidpropdg	|- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem grpidpropdg

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpidpropd.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2	1	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = y <-> ( x ( +g ` L ) y ) = y ) )
3	1	oveqrspc2v 6027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
4	3	oveqrspc2v 6027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
5	4	ancom2s 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
6	5	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` K ) x ) = y <-> ( y ( +g ` L ) x ) = y ) )
7	2, 6	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
8	7	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
9	8	ralbidva 2526	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
10	9	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
11		grpidpropd.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
12	11	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` K ) ) )
13	11	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
15		grpidpropd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
16	15	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` L ) ) )
17	15	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
18	16, 17	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
19	10, 14, 18	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
20	19	iotabidv 5300	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
21		grpidproddg.k	. . 3 |- ( ph -> K e. V )
22		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
23		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
24		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
25	22, 23, 24	grpidvalg 13401	. . 3 |- ( K e. V -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
26	21, 25	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
27		grpidproddg.l	. . 3 |- ( ph -> L e. W )
28		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
29		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
30		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
31	28, 29, 30	grpidvalg 13401	. . 3 |- ( L e. W -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
32	27, 31	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
33	20, 26, 32	3eqtr4d 2272	1 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   iotacio 5275   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   0gc0g 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-inn 9107  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-0g 13286

This theorem is referenced by:  gsumpropd  13420  gsumpropd2  13421  mhmpropd  13494  grppropd  13545  grpinvpropdg  13603  mulgpropdg  13696  rngidpropdg  14104  sralmod0g  14409