Theorem grpidpropdg 13520

Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, they have the same identity element. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
grpidpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
grpidproddg.k	|- ( ph -> K e. V )
grpidproddg.l	|- ( ph -> L e. W )
grpidpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
grpidpropdg	|- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem grpidpropdg

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpidpropd.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2	1	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = y <-> ( x ( +g ` L ) y ) = y ) )
3	1	oveqrspc2v 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
4	3	oveqrspc2v 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
5	4	ancom2s 568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
6	5	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` K ) x ) = y <-> ( y ( +g ` L ) x ) = y ) )
7	2, 6	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
8	7	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
9	8	ralbidva 2529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
10	9	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
11		grpidpropd.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
12	11	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` K ) ) )
13	11	raleqdv 2737	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
15		grpidpropd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
16	15	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` L ) ) )
17	15	raleqdv 2737	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
18	16, 17	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
19	10, 14, 18	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
20	19	iotabidv 5316	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
21		grpidproddg.k	. . 3 |- ( ph -> K e. V )
22		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
23		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
24		eqid 2231	. . . 4 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
25	22, 23, 24	grpidvalg 13519	. . 3 |- ( K e. V -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
26	21, 25	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
27		grpidproddg.l	. . 3 |- ( ph -> L e. W )
28		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
29		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
30		eqid 2231	. . . 4 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
31	28, 29, 30	grpidvalg 13519	. . 3 |- ( L e. W -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
32	27, 31	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
33	20, 26, 32	3eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   iotacio 5291   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   0gc0g 13402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9186  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-0g 13404

This theorem is referenced by:  gsumpropd  13538  gsumpropd2  13539  mhmpropd  13612  grppropd  13663  grpinvpropdg  13721  mulgpropdg  13814  rngidpropdg  14224  sralmod0g  14530