Theorem grpidpropdg 13422

Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, they have the same identity element. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
grpidpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
grpidproddg.k	|- ( ph -> K e. V )
grpidproddg.l	|- ( ph -> L e. W )
grpidpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
grpidpropdg	|- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem grpidpropdg

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpidpropd.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2	1	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = y <-> ( x ( +g ` L ) y ) = y ) )
3	1	oveqrspc2v 6034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
4	3	oveqrspc2v 6034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
5	4	ancom2s 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
6	5	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` K ) x ) = y <-> ( y ( +g ` L ) x ) = y ) )
7	2, 6	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
8	7	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
9	8	ralbidva 2526	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
10	9	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
11		grpidpropd.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
12	11	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` K ) ) )
13	11	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
15		grpidpropd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
16	15	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` L ) ) )
17	15	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
18	16, 17	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
19	10, 14, 18	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
20	19	iotabidv 5301	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
21		grpidproddg.k	. . 3 |- ( ph -> K e. V )
22		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
23		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
24		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
25	22, 23, 24	grpidvalg 13421	. . 3 |- ( K e. V -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
26	21, 25	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
27		grpidproddg.l	. . 3 |- ( ph -> L e. W )
28		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
29		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
30		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
31	28, 29, 30	grpidvalg 13421	. . 3 |- ( L e. W -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
32	27, 31	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
33	20, 26, 32	3eqtr4d 2272	1 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   iotacio 5276   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   +g cplusg 13125   0gc0g 13304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9122  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-0g 13306

This theorem is referenced by:  gsumpropd  13440  gsumpropd2  13441  mhmpropd  13514  grppropd  13565  grpinvpropdg  13623  mulgpropdg  13716  rngidpropdg  14125  sralmod0g  14430