Theorem grpidpropdg 12798

Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, they have the same identity element. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
grpidpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
grpidproddg.k	|- ( ph -> K e. V )
grpidproddg.l	|- ( ph -> L e. W )
grpidpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
grpidpropdg	|- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem grpidpropdg

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpidpropd.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2	1	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = y <-> ( x ( +g ` L ) y ) = y ) )
3	1	oveqrspc2v 5904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
4	3	oveqrspc2v 5904	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
5	4	ancom2s 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
6	5	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` K ) x ) = y <-> ( y ( +g ` L ) x ) = y ) )
7	2, 6	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
8	7	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
9	8	ralbidva 2473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
10	9	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
11		grpidpropd.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
12	11	eleq2d 2247	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` K ) ) )
13	11	raleqdv 2679	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
15		grpidpropd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
16	15	eleq2d 2247	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` L ) ) )
17	15	raleqdv 2679	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
18	16, 17	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
19	10, 14, 18	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
20	19	iotabidv 5201	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
21		grpidproddg.k	. . 3 |- ( ph -> K e. V )
22		eqid 2177	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
23		eqid 2177	. . . 4 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
24		eqid 2177	. . . 4 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
25	22, 23, 24	grpidvalg 12797	. . 3 |- ( K e. V -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
26	21, 25	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
27		grpidproddg.l	. . 3 |- ( ph -> L e. W )
28		eqid 2177	. . . 4 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
29		eqid 2177	. . . 4 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
30		eqid 2177	. . . 4 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
31	28, 29, 30	grpidvalg 12797	. . 3 |- ( L e. W -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
32	27, 31	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
33	20, 26, 32	3eqtr4d 2220	1 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   iotacio 5178   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-inn 8922  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-0g 12712

This theorem is referenced by:  mhmpropd  12862  grppropd  12898  grpinvpropdg  12950  mulgpropdg  13030  rngidpropdg  13320