Theorem grpidpropdg 13177

Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, they have the same identity element. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
grpidpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
grpidproddg.k	|- ( ph -> K e. V )
grpidproddg.l	|- ( ph -> L e. W )
grpidpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
grpidpropdg	|- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem grpidpropdg

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpidpropd.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2	1	eqeq1d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = y <-> ( x ( +g ` L ) y ) = y ) )
3	1	oveqrspc2v 5970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( +g ` K ) w ) = ( z ( +g ` L ) w ) )
4	3	oveqrspc2v 5970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
5	4	ancom2s 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y ( +g ` K ) x ) = ( y ( +g ` L ) x ) )
6	5	eqeq1d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` K ) x ) = y <-> ( y ( +g ` L ) x ) = y ) )
7	2, 6	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
8	7	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
9	8	ralbidva 2501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
10	9	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
11		grpidpropd.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
12	11	eleq2d 2274	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` K ) ) )
13	11	raleqdv 2707	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
15		grpidpropd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
16	15	eleq2d 2274	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` L ) ) )
17	15	raleqdv 2707	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) )
18	16, 17	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
19	10, 14, 18	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) <-> ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
20	19	iotabidv 5253	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
21		grpidproddg.k	. . 3 |- ( ph -> K e. V )
22		eqid 2204	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
23		eqid 2204	. . . 4 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
24		eqid 2204	. . . 4 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
25	22, 23, 24	grpidvalg 13176	. . 3 |- ( K e. V -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
26	21, 25	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( iota x ( x e. ( Base ` K ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( x ( +g ` K ) y ) = y /\ ( y ( +g ` K ) x ) = y ) ) ) )
27		grpidproddg.l	. . 3 |- ( ph -> L e. W )
28		eqid 2204	. . . 4 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
29		eqid 2204	. . . 4 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
30		eqid 2204	. . . 4 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
31	28, 29, 30	grpidvalg 13176	. . 3 |- ( L e. W -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
32	27, 31	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 0g ` L ) = ( iota x ( x e. ( Base ` L ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( x ( +g ` L ) y ) = y /\ ( y ( +g ` L ) x ) = y ) ) ) )
33	20, 26, 32	3eqtr4d 2247	1 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   iotacio 5229   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   +g cplusg 12880   0gc0g 13059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-inn 9036  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-0g 13061

This theorem is referenced by:  gsumpropd  13195  gsumpropd2  13196  mhmpropd  13269  grppropd  13320  grpinvpropdg  13378  mulgpropdg  13471  rngidpropdg  13879  sralmod0g  14184