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Theorem grpidpropdg 12672
Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, they have the same identity element. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpidpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
grpidpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
grpidproddg.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
grpidproddg.l  |-  ( ph  ->  L  e.  W )
grpidpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
grpidpropdg  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, B   
x, K, y    ph, x, y    x, L, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem grpidpropdg
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpidpropd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
21eqeq1d 2186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( x ( +g  `  K ) y )  =  y  <-> 
( x ( +g  `  L ) y )  =  y ) )
31oveqrspc2v 5895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z ( +g  `  K ) w )  =  ( z ( +g  `  L ) w ) )
43oveqrspc2v 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  K ) x )  =  ( y ( +g  `  L ) x ) )
54ancom2s 566 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  K ) x )  =  ( y ( +g  `  L ) x ) )
65eqeq1d 2186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  K ) x )  =  y  <-> 
( y ( +g  `  L ) x )  =  y ) )
72, 6anbi12d 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y )  <->  ( (
x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
87anassrs 400 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( x ( +g  `  K ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K ) x )  =  y )  <->  ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
98ralbidva 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  K ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K ) x )  =  y )  <->  A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  L ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L ) x )  =  y ) ) )
109pm5.32da 452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
11 grpidpropd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
1211eleq2d 2247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  K
) ) )
1311raleqdv 2678 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y )  <->  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) )
1412, 13anbi12d 473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) ) )
15 grpidpropd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
1615eleq2d 2247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  L
) ) )
1715raleqdv 2678 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y )  <->  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
1816, 17anbi12d 473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  L
)  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
1910, 14, 183bitr3d 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  L
)  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
2019iotabidv 5194 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( x  e.  ( Base `  K )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) )  =  ( iota x
( x  e.  (
Base `  L )  /\  A. y  e.  (
Base `  L )
( ( x ( +g  `  L ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L ) x )  =  y ) ) ) )
21 grpidproddg.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
22 eqid 2177 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
23 eqid 2177 . . . 4  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
24 eqid 2177 . . . 4  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
2522, 23, 24grpidvalg 12671 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  ( 0g `  K )  =  ( iota x ( x  e.  ( Base `  K )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) ) )
2621, 25syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( iota
x ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) ) )
27 grpidproddg.l . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  W )
28 eqid 2177 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
29 eqid 2177 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
30 eqid 2177 . . . 4  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
3128, 29, 30grpidvalg 12671 . . 3  |-  ( L  e.  W  ->  ( 0g `  L )  =  ( iota x ( x  e.  ( Base `  L )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
3227, 31syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  L
)  =  ( iota
x ( x  e.  ( Base `  L
)  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
3320, 26, 323eqtr4d 2220 1  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   iotacio 5171   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   0gc0g 12640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-inn 8896  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-0g 12642
This theorem is referenced by:  mhmpropd  12734  grppropd  12770  grpinvpropdg  12821  mulgpropdg  12900
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