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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulgass | Unicode version |
Description: Product of group
multiples, generalized to ![]() |
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mulgass.b |
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mulgass.t |
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mulgass |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr1 1003 |
. . 3
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2 | elznn0 9257 |
. . . 4
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3 | 2 | simprbi 275 |
. . 3
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4 | 1, 3 | syl 14 |
. 2
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5 | simpr2 1004 |
. . 3
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6 | elznn0 9257 |
. . . 4
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7 | 6 | simprbi 275 |
. . 3
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8 | 5, 7 | syl 14 |
. 2
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9 | grpmnd 12774 |
. . . . . 6
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10 | 9 | ad2antrr 488 |
. . . . 5
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11 | simprl 529 |
. . . . 5
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12 | simprr 531 |
. . . . 5
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13 | simplr3 1041 |
. . . . 5
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14 | mulgass.b |
. . . . . 6
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15 | mulgass.t |
. . . . . 6
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16 | 14, 15 | mulgnn0ass 12907 |
. . . . 5
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17 | 10, 11, 12, 13, 16 | syl13anc 1240 |
. . . 4
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18 | 17 | ex 115 |
. . 3
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19 | 1 | zcnd 9365 |
. . . . . . . . 9
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20 | 5 | zcnd 9365 |
. . . . . . . . 9
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21 | 19, 20 | mulneg1d 8358 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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23 | 22 | oveq1d 5884 |
. . . . . 6
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24 | 9 | ad2antrr 488 |
. . . . . . 7
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25 | simprl 529 |
. . . . . . 7
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26 | simprr 531 |
. . . . . . 7
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27 | simpr3 1005 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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29 | 14, 15 | mulgnn0ass 12907 |
. . . . . . 7
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30 | 24, 25, 26, 28, 29 | syl13anc 1240 |
. . . . . 6
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31 | 23, 30 | eqtr3d 2212 |
. . . . 5
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32 | fveq2 5511 |
. . . . . . 7
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33 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 1, 5 | zmulcld 9370 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | eqid 2177 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 14, 15, 35 | mulgneg 12890 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 33, 34, 27, 36 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 37 | fveq2d 5515 |
. . . . . . . . 9
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39 | 14, 15 | mulgcl 12889 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 33, 34, 27, 39 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 14, 35 | grpinvinv 12826 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 40, 41 | syldan 282 |
. . . . . . . . 9
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43 | 38, 42 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . 8
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44 | 14, 15 | mulgcl 12889 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 33, 5, 27, 44 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | 14, 15, 35 | mulgneg 12890 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 33, 1, 45, 46 | syl3anc 1238 |
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48 | 47 | fveq2d 5515 |
. . . . . . . . 9
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49 | 14, 15 | mulgcl 12889 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 33, 1, 45, 49 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 14, 35 | grpinvinv 12826 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 50, 51 | syldan 282 |
. . . . . . . . 9
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53 | 48, 52 | eqtrd 2210 |
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54 | 43, 53 | eqeq12d 2192 |
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55 | 32, 54 | imbitrid 154 |
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56 | 55 | imp 124 |
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57 | 31, 56 | syldan 282 |
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63 | 14, 15 | mulgnn0ass 12907 |
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64 | 59, 60, 61, 62, 63 | syl13anc 1240 |
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65 | 19, 20 | mulneg2d 8359 |
. . . . . . . 8
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68 | 14, 15, 35 | mulgneg 12890 |
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69 | 33, 5, 27, 68 | syl3anc 1238 |
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70 | 69 | oveq2d 5885 |
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71 | 14, 15, 35 | mulgneg2 12905 |
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72 | 33, 1, 45, 71 | syl3anc 1238 |
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73 | 70, 72 | eqtr4d 2213 |
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75 | 64, 67, 74 | 3eqtr3d 2218 |
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76 | 75, 56 | syldan 282 |
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77 | 76 | ex 115 |
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82 | 14, 15 | mulgnn0ass 12907 |
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83 | 78, 79, 80, 81, 82 | syl13anc 1240 |
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84 | 19, 20 | mul2negd 8360 |
. . . . . . 7
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85 | 84 | oveq1d 5884 |
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88 | 1 | adantr 276 |
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89 | nn0z 9262 |
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90 | 89 | ad2antll 491 |
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91 | 14, 15 | mulgcl 12889 |
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92 | 87, 90, 81, 91 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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93 | 14, 15, 35 | mulgneg2 12905 |
. . . . . . 7
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94 | 87, 88, 92, 93 | syl3anc 1238 |
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95 | 14, 15, 35 | mulgneg 12890 |
. . . . . . . . 9
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96 | 87, 90, 81, 95 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . 8
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99 | 98 | oveq1d 5884 |
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100 | 96, 99 | eqtr3d 2212 |
. . . . . . 7
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101 | 100 | oveq2d 5885 |
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102 | 94, 101 | eqtrd 2210 |
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103 | 83, 86, 102 | 3eqtr3d 2218 |
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104 | 103 | ex 115 |
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105 | 18, 58, 77, 104 | ccased 965 |
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106 | 4, 8, 105 | mp2and 433 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-ltadd 7918 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-inn 8909 df-2 8967 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-seqfrec 10432 df-ndx 12448 df-slot 12449 df-base 12451 df-plusg 12531 df-0g 12655 df-mgm 12667 df-sgrp 12700 df-mnd 12710 df-grp 12770 df-minusg 12771 df-mulg 12873 |
This theorem is referenced by: mulgassr 12909 |
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