Theorem mulginvcom 13950

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulginvcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulginvcom.i	|- I = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulginvcom	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulginvcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( 0 .x. ( I ` X ) ) )
2		fvoveq1 6108	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) )
3	1, 2	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) ) )
4		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( y .x. ( I ` X ) ) )
5		fvoveq1 6108	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
6	4, 5	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
7		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) )
8		fvoveq1 6108	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
10		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( -u y .x. ( I ` X ) ) )
11		fvoveq1 6108	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) )
13		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( N .x. ( I ` X ) ) )
14		fvoveq1 6108	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) )
16		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
17		mulginvcom.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( invg ` G )
18	16, 17	grpinvid 13865	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( I ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
19	18	eqcomd 2244	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0g ` G ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
21		mulginvcom.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
22	21, 17	grpinvcl 13853	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
23		mulginvcom.t	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
24	21, 16, 23	mulg0 13928	. . . . . . 7 |- ( ( I ` X ) e. B -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
26	21, 16, 23	mulg0 13928	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
28	27	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` ( 0 .x. X ) ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
29	20, 25, 28	3eqtr4d 2281	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) )
30		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
32		grpmnd 13812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
33	32	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> G e. Mnd )
34		simp2 1029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> y e. NN0 )
35	22	3adant2 1047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
36		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
37	21, 23, 36	mulgnn0p1 13936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) )
38	33, 34, 35, 37	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) )
39		simp1 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> G e. Grp )
40		nn0z 9664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
41	40	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> y e. ZZ )
42	21, 23, 36	mulgaddcom 13949	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
43	39, 41, 35, 42	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
44	38, 43	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
46	21, 23, 36	mulgnn0p1 13936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
47	32, 46	syl3an1 1311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
48	47	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) )
49	21, 23	mulgcl 13942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
50	40, 49	syl3an2 1312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
51	21, 36, 17	grpinvadd 13883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
52	50, 51	syld3an2 1325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
53	48, 52	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
55	31, 45, 54	3eqtr4d 2281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
56	55	3exp1 1254	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( y e. NN0 -> ( X e. B -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. NN0 -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) ) )
58	57	imp 124	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) )
59		nnz 9663	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
60	22	3adant2 1047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
61	21, 23, 17	mulgneg 13943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
62	60, 61	syld3an3 1323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
64	21, 23, 17	mulgneg 13943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
67	65, 66	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( y .x. ( I ` X ) ) )
68	67	fveq2d 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( I ` ( -u y .x. X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
69	63, 68	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) )
70	69	3exp1 1254	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( y e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
71	70	com23 78	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. ZZ -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
72	71	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) )
73	59, 72	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) )
74	3, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73	zindd 9764	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) )
75	74	ex 115	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) ) )
76	75	com23 78	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) ) )
77	76	3imp 1224	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   -ucneg 8498   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   0gc0g 13610   Mndcmnd 13729   Grpcgrp 13805   invgcminusg 13806  ._gcmg 13922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-mulg 13923

This theorem is used by:  mulginvinv  13951