Theorem mulginvcom 13277

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulginvcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulginvcom.i	|- I = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulginvcom	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulginvcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( 0 .x. ( I ` X ) ) )
2		fvoveq1 5945	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) )
3	1, 2	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) ) )
4		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( y .x. ( I ` X ) ) )
5		fvoveq1 5945	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
6	4, 5	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
7		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) )
8		fvoveq1 5945	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
10		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( -u y .x. ( I ` X ) ) )
11		fvoveq1 5945	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) )
13		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( N .x. ( I ` X ) ) )
14		fvoveq1 5945	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) )
16		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
17		mulginvcom.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( invg ` G )
18	16, 17	grpinvid 13192	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( I ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
19	18	eqcomd 2202	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0g ` G ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
21		mulginvcom.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
22	21, 17	grpinvcl 13180	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
23		mulginvcom.t	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
24	21, 16, 23	mulg0 13255	. . . . . . 7 |- ( ( I ` X ) e. B -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
26	21, 16, 23	mulg0 13255	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
28	27	fveq2d 5562	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` ( 0 .x. X ) ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
29	20, 25, 28	3eqtr4d 2239	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) )
30		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
32		grpmnd 13139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
33	32	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> G e. Mnd )
34		simp2 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> y e. NN0 )
35	22	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
36		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
37	21, 23, 36	mulgnn0p1 13263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) )
38	33, 34, 35, 37	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) )
39		simp1 999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> G e. Grp )
40		nn0z 9346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
41	40	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> y e. ZZ )
42	21, 23, 36	mulgaddcom 13276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
43	39, 41, 35, 42	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
44	38, 43	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
46	21, 23, 36	mulgnn0p1 13263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
47	32, 46	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
48	47	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) )
49	21, 23	mulgcl 13269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
50	40, 49	syl3an2 1283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
51	21, 36, 17	grpinvadd 13210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
52	50, 51	syld3an2 1296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
53	48, 52	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
55	31, 45, 54	3eqtr4d 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
56	55	3exp1 1225	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( y e. NN0 -> ( X e. B -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. NN0 -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) ) )
58	57	imp 124	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) )
59		nnz 9345	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
60	22	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
61	21, 23, 17	mulgneg 13270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
62	60, 61	syld3an3 1294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
64	21, 23, 17	mulgneg 13270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
67	65, 66	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( y .x. ( I ` X ) ) )
68	67	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( I ` ( -u y .x. X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
69	63, 68	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) )
70	69	3exp1 1225	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( y e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
71	70	com23 78	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. ZZ -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
72	71	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) )
73	59, 72	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) )
74	3, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73	zindd 9444	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) )
75	74	ex 115	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) ) )
76	75	com23 78	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) ) )
77	76	3imp 1195	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   -ucneg 8198   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Mndcmnd 13057   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133  ._gcmg 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-mulg 13250

This theorem is referenced by:  mulginvinv  13278