Theorem mulginvcom 13679

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulginvcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulginvcom.i	|- I = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulginvcom	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulginvcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6007	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( 0 .x. ( I ` X ) ) )
2		fvoveq1 6023	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) )
3	1, 2	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) ) )
4		oveq1 6007	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( y .x. ( I ` X ) ) )
5		fvoveq1 6023	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
6	4, 5	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
7		oveq1 6007	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) )
8		fvoveq1 6023	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
9	7, 8	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
10		oveq1 6007	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( -u y .x. ( I ` X ) ) )
11		fvoveq1 6023	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) )
13		oveq1 6007	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x .x. ( I ` X ) ) = ( N .x. ( I ` X ) ) )
14		fvoveq1 6023	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( I ` ( x .x. X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( x .x. X ) ) <-> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) )
16		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
17		mulginvcom.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( invg ` G )
18	16, 17	grpinvid 13588	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( I ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
19	18	eqcomd 2235	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0g ` G ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
21		mulginvcom.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
22	21, 17	grpinvcl 13576	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
23		mulginvcom.t	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
24	21, 16, 23	mulg0 13657	. . . . . . 7 |- ( ( I ` X ) e. B -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
26	21, 16, 23	mulg0 13657	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
28	27	fveq2d 5630	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( I ` ( 0 .x. X ) ) = ( I ` ( 0g ` G ) ) )
29	20, 25, 28	3eqtr4d 2272	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( 0 .x. X ) ) )
30		oveq2 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
32		grpmnd 13535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
33	32	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> G e. Mnd )
34		simp2 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> y e. NN0 )
35	22	3adant2 1040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
36		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
37	21, 23, 36	mulgnn0p1 13665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) )
38	33, 34, 35, 37	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) )
39		simp1 1021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> G e. Grp )
40		nn0z 9462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
41	40	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> y e. ZZ )
42	21, 23, 36	mulgaddcom 13678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
43	39, 41, 35, 42	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) ( +g ` G ) ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
44	38, 43	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
46	21, 23, 36	mulgnn0p1 13665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
47	32, 46	syl3an1 1304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
48	47	fveq2d 5630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) )
49	21, 23	mulgcl 13671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
50	40, 49	syl3an2 1305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
51	21, 36, 17	grpinvadd 13606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
52	50, 51	syld3an2 1318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
53	48, 52	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( ( I ` X ) ( +g ` G ) ( I ` ( y .x. X ) ) ) )
55	31, 45, 54	3eqtr4d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. NN0 /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
56	55	3exp1 1247	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( y e. NN0 -> ( X e. B -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. NN0 -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) ) )
58	57	imp 124	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) )
59		nnz 9461	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
60	22	3adant2 1040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( I ` X ) e. B )
61	21, 23, 17	mulgneg 13672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( I ` X ) e. B ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
62	60, 61	syld3an3 1316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
64	21, 23, 17	mulgneg 13672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) )
67	65, 66	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. X ) = ( y .x. ( I ` X ) ) )
68	67	fveq2d 5630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( I ` ( -u y .x. X ) ) = ( I ` ( y .x. ( I ` X ) ) ) )
69	63, 68	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) )
70	69	3exp1 1247	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( y e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
71	70	com23 78	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. ZZ -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
72	71	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. ZZ -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) )
73	59, 72	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( y .x. X ) ) -> ( -u y .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( -u y .x. X ) ) ) ) )
74	3, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73	zindd 9561	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) )
75	74	ex 115	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) ) )
76	75	com23 78	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) ) ) )
77	76	3imp 1217	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. ( I ` X ) ) = ( I ` ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   -ucneg 8314   NNcn 9106   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   0gc0g 13284   Mndcmnd 13444   Grpcgrp 13528   invgcminusg 13529  ._gcmg 13651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mulg 13652

This theorem is referenced by:  mulginvinv  13680