Theorem mulgaddcom 13038

Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulgaddcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgaddcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcom	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgaddcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5895	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 5903	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
3	1	oveq2d 5904	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2202	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) ) )
5		oveq1 5895	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
6	5	oveq1d 5903	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
7	5	oveq2d 5904	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) )
8	6, 7	eqeq12d 2202	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
9		oveq1 5895	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
10	9	oveq1d 5903	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) )
11	9	oveq2d 5904	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2202	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
13		oveq1 5895	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) )
14	13	oveq1d 5903	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( -u y .x. X ) .+ X ) )
15	13	oveq2d 5904	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
16	14, 15	eqeq12d 2202	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) )
17		oveq1 5895	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
18	17	oveq1d 5903	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
19	17	oveq2d 5904	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2202	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) )
21		mulgaddcom.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
22		mulgaddcom.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
23		eqid 2187	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
24	21, 22, 23	grplid 12927	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
25		mulgaddcom.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` G )
26	21, 23, 25	mulg0 13019	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
28	27	oveq1d 5903	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
29	27	oveq2d 5904	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
30	21, 22, 23	grprid 12928	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
31	29, 30	eqtrd 2220	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = X )
32	24, 28, 31	3eqtr4d 2230	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) )
33		nn0z 9286	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
34		simp1 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> G e. Grp )
35		simp2 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> X e. B )
36	21, 25	mulgcl 13031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
37	36	3com23 1210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( y .x. X ) e. B )
38	21, 22	grpass 12907	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
39	34, 35, 37, 35, 38	syl13anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
40	33, 39	syl3an3 1283	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
42		grpmnd 12905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
43	42	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> G e. Mnd )
44		simp3 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
45		simp2 999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> X e. B )
46	21, 25, 22	mulgnn0p1 13025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
48	47	eqeq1d 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
49	48	biimpar 297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) )
50	49	oveq1d 5903	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) )
51	47	oveq2d 5904	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
53	41, 50, 52	3eqtr4d 2230	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
54	53	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
55	54	3expia 1206	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) )
56		nnz 9285	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
57	21, 25, 22	mulgaddcomlem 13037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
58	57	3exp1 1224	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( y e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
59	58	com23 78	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
60	59	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) )
61	56, 60	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) )
62	4, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61	zindd 9384	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) )
63	62	ex 115	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
64	63	com23 78	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
65	64	3imp 1194	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   0cc0 7824   1c1 7825   + caddc 7827   -ucneg 8142   NNcn 8932   NN0cn0 9189   ZZcz 9266   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   0gc0g 12722   Mndcmnd 12838   Grpcgrp 12898  ._gcmg 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-mulg 13014

This theorem is referenced by:  mulginvcom  13039