Theorem mulgaddcom 13219

Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulgaddcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgaddcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcom	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgaddcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
3	1	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) ) )
5		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
6	5	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
7	5	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) )
8	6, 7	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
9		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
10	9	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) )
11	9	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
13		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) )
14	13	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( -u y .x. X ) .+ X ) )
15	13	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
16	14, 15	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) )
17		oveq1 5926	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
18	17	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
19	17	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) )
21		mulgaddcom.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
22		mulgaddcom.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
23		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
24	21, 22, 23	grplid 13106	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
25		mulgaddcom.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` G )
26	21, 23, 25	mulg0 13198	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
28	27	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
29	27	oveq2d 5935	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
30	21, 22, 23	grprid 13107	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
31	29, 30	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = X )
32	24, 28, 31	3eqtr4d 2236	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) )
33		nn0z 9340	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
34		simp1 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> G e. Grp )
35		simp2 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> X e. B )
36	21, 25	mulgcl 13212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
37	36	3com23 1211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( y .x. X ) e. B )
38	21, 22	grpass 13084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
39	34, 35, 37, 35, 38	syl13anc 1251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
40	33, 39	syl3an3 1284	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
42		grpmnd 13082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
43	42	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> G e. Mnd )
44		simp3 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
45		simp2 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> X e. B )
46	21, 25, 22	mulgnn0p1 13206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
48	47	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
49	48	biimpar 297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) )
50	49	oveq1d 5934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) )
51	47	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
53	41, 50, 52	3eqtr4d 2236	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
54	53	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
55	54	3expia 1207	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) )
56		nnz 9339	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
57	21, 25, 22	mulgaddcomlem 13218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
58	57	3exp1 1225	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( y e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
59	58	com23 78	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
60	59	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) )
61	56, 60	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) )
62	4, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61	zindd 9438	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) )
63	62	ex 115	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
64	63	com23 78	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
65	64	3imp 1195	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   -ucneg 8193   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Mndcmnd 13000   Grpcgrp 13075  ._gcmg 13192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-mulg 13193

This theorem is referenced by:  mulginvcom  13220