Theorem mulgaddcom 13597

Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulgaddcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgaddcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcom	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgaddcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5974	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
3	1	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2222	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) ) )
5		oveq1 5974	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
6	5	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
7	5	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) )
8	6, 7	eqeq12d 2222	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
9		oveq1 5974	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
10	9	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) )
11	9	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2222	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
13		oveq1 5974	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) )
14	13	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( -u y .x. X ) .+ X ) )
15	13	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
16	14, 15	eqeq12d 2222	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) )
17		oveq1 5974	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
18	17	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
19	17	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2222	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) )
21		mulgaddcom.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
22		mulgaddcom.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
23		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
24	21, 22, 23	grplid 13478	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
25		mulgaddcom.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` G )
26	21, 23, 25	mulg0 13576	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
28	27	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
29	27	oveq2d 5983	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
30	21, 22, 23	grprid 13479	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
31	29, 30	eqtrd 2240	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = X )
32	24, 28, 31	3eqtr4d 2250	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) )
33		nn0z 9427	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
34		simp1 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> G e. Grp )
35		simp2 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> X e. B )
36	21, 25	mulgcl 13590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
37	36	3com23 1212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( y .x. X ) e. B )
38	21, 22	grpass 13456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
39	34, 35, 37, 35, 38	syl13anc 1252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
40	33, 39	syl3an3 1285	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
42		grpmnd 13454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
43	42	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> G e. Mnd )
44		simp3 1002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
45		simp2 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> X e. B )
46	21, 25, 22	mulgnn0p1 13584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
48	47	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
49	48	biimpar 297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) )
50	49	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) )
51	47	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
53	41, 50, 52	3eqtr4d 2250	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
54	53	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
55	54	3expia 1208	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) )
56		nnz 9426	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
57	21, 25, 22	mulgaddcomlem 13596	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
58	57	3exp1 1226	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( y e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
59	58	com23 78	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
60	59	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) )
61	56, 60	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) )
62	4, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61	zindd 9526	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) )
63	62	ex 115	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
64	63	com23 78	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
65	64	3imp 1196	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   -ucneg 8279   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   0gc0g 13203   Mndcmnd 13363   Grpcgrp 13447  ._gcmg 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-mulg 13571

This theorem is referenced by:  mulginvcom  13598