Theorem mulgaddcom 13751

Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	|- B = ( Base ` G )
mulgaddcom.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgaddcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcom	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgaddcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
3	1	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) ) )
5		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
6	5	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
7	5	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) )
8	6, 7	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
9		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
10	9	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) )
11	9	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
13		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) )
14	13	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( -u y .x. X ) .+ X ) )
15	13	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
16	14, 15	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) )
17		oveq1 6025	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
18	17	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
19	17	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( X .+ ( x .x. X ) ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( x .x. X ) ) <-> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) )
21		mulgaddcom.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
22		mulgaddcom.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
23		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
24	21, 22, 23	grplid 13632	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
25		mulgaddcom.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` G )
26	21, 23, 25	mulg0 13730	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
28	27	oveq1d 6033	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
29	27	oveq2d 6034	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
30	21, 22, 23	grprid 13633	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
31	29, 30	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0 .x. X ) ) = X )
32	24, 28, 31	3eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( 0 .x. X ) ) )
33		nn0z 9499	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
34		simp1 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> G e. Grp )
35		simp2 1024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> X e. B )
36	21, 25	mulgcl 13744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
37	36	3com23 1235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( y .x. X ) e. B )
38	21, 22	grpass 13610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( y .x. X ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
39	34, 35, 37, 35, 38	syl13anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. ZZ ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
40	33, 39	syl3an3 1308	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
42		grpmnd 13608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
43	42	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> G e. Mnd )
44		simp3 1025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
45		simp2 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> X e. B )
46	21, 25, 22	mulgnn0p1 13738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) .+ X ) )
48	47	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) <-> ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) )
49	48	biimpar 297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) )
50	49	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( ( X .+ ( y .x. X ) ) .+ X ) )
51	47	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) = ( X .+ ( ( y .x. X ) .+ X ) ) )
53	41, 50, 52	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) )
54	53	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) )
55	54	3expia 1231	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( ( y + 1 ) .x. X ) ) ) ) )
56		nnz 9498	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
57	21, 25, 22	mulgaddcomlem 13750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) )
58	57	3exp1 1249	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( y e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
59	58	com23 78	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) ) )
60	59	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. ZZ -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) )
61	56, 60	syl5 32	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( y .x. X ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( -u y .x. X ) ) ) ) )
62	4, 8, 12, 16, 20, 32, 55, 61	zindd 9598	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) )
63	62	ex 115	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
64	63	com23 78	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) ) ) )
65	64	3imp 1219	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( X .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   -ucneg 8351   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   0gc0g 13357   Mndcmnd 13517   Grpcgrp 13601  ._gcmg 13724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-seqfrec 10711  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-mulg 13725

This theorem is referenced by:  mulginvcom  13752