ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpsubeq0 GIF version

Theorem grpsubeq0 12845
Description: If the difference between two group elements is zero, they are equal. (subeq0 8173 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o 0 = (0g𝐺)
grpsubid.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubeq0 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 0𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpsubeq0
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2177 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2177 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4 grpsubid.m . . . . 5 = (-g𝐺)
51, 2, 3, 4grpsubval 12809 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
653adant1 1015 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
76eqeq1d 2186 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 0 ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
8 simp1 997 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
91, 3grpinvcl 12811 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
1093adant2 1016 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 simp2 998 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
12 grpsubid.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
131, 2, 12, 3grpinvid2 12815 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
148, 10, 11, 13syl3anc 1238 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
151, 3grpinvinv 12826 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
16153adant2 1016 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
1716eqeq1d 2186 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋𝑌 = 𝑋))
18 eqcom 2179 . . 3 (𝑌 = 𝑋𝑋 = 𝑌)
1917, 18bitrdi 196 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋𝑋 = 𝑌))
207, 14, 193bitr2d 216 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 0𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5212  (class class class)co 5869  Basecbs 12445  +gcplusg 12518  0gc0g 12653  Grpcgrp 12767  invgcminusg 12768  -gcsg 12769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-inn 8909  df-2 8967  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-plusg 12531  df-0g 12655  df-mgm 12667  df-sgrp 12700  df-mnd 12710  df-grp 12770  df-minusg 12771  df-sbg 12772
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator