Theorem inffz 15716

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inffz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> inf ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = M )

Proof of Theorem inffz

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
2	1	zred 9448	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. RR )
3		simprr 531	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
4	3	zred 9448	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. RR )
5	2, 4	lttri3d 8141	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x = y <-> ( -. x < y /\ -. y < x ) ) )
6		eluzel2 9606	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
7		eluzfz1 10106	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
8		elfzle1 10102	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> M <_ z )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> M <_ z )
10	6	zred 9448	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
11		elfzelz 10100	. . . . 5 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. ZZ )
12	11	zred 9448	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. RR )
13		lenlt 8102	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ z e. RR ) -> ( M <_ z <-> -. z < M ) )
14	10, 12, 13	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> ( M <_ z <-> -. z < M ) )
15	9, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> -. z < M )
16	5, 6, 7, 15	infminti 7093	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> inf ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922  infcinf 7049   RRcr 7878   < clt 8061   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-apti 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by: (None)