Theorem inffz 13227

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inffz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> inf ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = M )

Proof of Theorem inffz

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 520	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
2	1	zred 9166	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. RR )
3		simprr 521	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
4	3	zred 9166	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. RR )
5	2, 4	lttri3d 7871	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x = y <-> ( -. x < y /\ -. y < x ) ) )
6		eluzel2 9324	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
7		eluzfz1 9804	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
8		elfzle1 9800	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> M <_ z )
9	8	adantl 275	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> M <_ z )
10	6	zred 9166	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
11		elfzelz 9799	. . . . 5 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. ZZ )
12	11	zred 9166	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. RR )
13		lenlt 7833	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ z e. RR ) -> ( M <_ z <-> -. z < M ) )
14	10, 12, 13	syl2an 287	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> ( M <_ z <-> -. z < M ) )
15	9, 14	mpbid 146	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> -. z < M )
16	5, 6, 7, 15	infminti 6907	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> inf ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767  infcinf 6863   RRcr 7612   < clt 7793   <_ cle 7794   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-apti 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-neg 7929  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784

This theorem is referenced by: (None)