Theorem inffz 15204

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inffz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> inf ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = M )

Proof of Theorem inffz

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
2	1	zred 9392	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. RR )
3		simprr 531	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
4	3	zred 9392	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. RR )
5	2, 4	lttri3d 8089	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x = y <-> ( -. x < y /\ -. y < x ) ) )
6		eluzel2 9550	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
7		eluzfz1 10048	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
8		elfzle1 10044	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> M <_ z )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> M <_ z )
10	6	zred 9392	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
11		elfzelz 10042	. . . . 5 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. ZZ )
12	11	zred 9392	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. RR )
13		lenlt 8050	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ z e. RR ) -> ( M <_ z <-> -. z < M ) )
14	10, 12, 13	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> ( M <_ z <-> -. z < M ) )
15	9, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> -. z < M )
16	5, 6, 7, 15	infminti 7043	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> inf ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2159   class class class wbr 4017   ` cfv 5230  (class class class)co 5890  infcinf 6999   RRcr 7827   < clt 8009   <_ cle 8010   ZZcz 9270   ZZ>=cuz 9545   ...cfz 10025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-apti 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-sup 7000  df-inf 7001  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-neg 8148  df-z 9271  df-uz 9546  df-fz 10026

This theorem is referenced by: (None)