Theorem inffz 16907

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inffz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	zred 9706	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	zred 9706	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	2, 4	lttri3d 8393	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 < 𝑥)))
6		eluzel2 9864	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzfz1 10371	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8		elfzle1 10367	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑧)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
10	6	zred 9706	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11		elfzelz 10365	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
12	11	zred 9706	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℝ)
13		lenlt 8354	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
14	10, 12, 13	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
15	9, 14	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑧 < 𝑀)
16	5, 6, 7, 15	infminti 7320	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  infcinf 7276  ℝcr 8131   < clt 8313   ≤ cle 8314  ℤcz 9582  ℤ_≥cuz 9859  ...cfz 10348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-apti 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-neg 8452  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349

This theorem is referenced by: (None)