Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffz GIF version

Theorem inffz 13252
Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
inffz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 520 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21zred 9180 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 simprr 521 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
43zred 9180 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
52, 4lttri3d 7885 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 < 𝑥)))
6 eluzel2 9338 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzfz1 9818 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8 elfzle1 9814 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑧)
98adantl 275 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑧)
106zred 9180 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11 elfzelz 9813 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
1211zred 9180 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℝ)
13 lenlt 7847 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑀𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
1410, 12, 13syl2an 287 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
159, 14mpbid 146 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑧 < 𝑀)
165, 6, 7, 15infminti 6914 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870  cr 7626   < clt 7807  cle 7808  cz 9061  cuz 9333  ...cfz 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-apti 7742
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-neg 7943  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator