Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffz GIF version

Theorem inffz 12183
 Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
inffz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 499 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21zred 8922 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 simprr 500 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
43zred 8922 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
52, 4lttri3d 7653 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 < 𝑥)))
6 eluzel2 9078 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzfz1 9499 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8 elfzle1 9495 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑧)
98adantl 272 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑧)
106zred 8922 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11 elfzelz 9494 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
1211zred 8922 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℝ)
13 lenlt 7615 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑀𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
1410, 12, 13syl2an 284 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
159, 14mpbid 146 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑧 < 𝑀)
165, 6, 7, 15infminti 6776 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  infcinf 6732  ℝcr 7403   < clt 7576   ≤ cle 7577  ℤcz 8804  ℤ≥cuz 9073  ...cfz 9478 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-apti 7514 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sup 6733  df-inf 6734  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-neg 7710  df-z 8805  df-uz 9074  df-fz 9479 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator