Theorem inffz 16351

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inffz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	zred 9537	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		simprr 531	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	zred 9537	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	2, 4	lttri3d 8229	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 < 𝑥)))
6		eluzel2 9695	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzfz1 10195	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8		elfzle1 10191	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑧)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
10	6	zred 9537	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11		elfzelz 10189	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
12	11	zred 9537	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℝ)
13		lenlt 8190	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
14	10, 12, 13	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
15	9, 14	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑧 < 𝑀)
16	5, 6, 7, 15	infminti 7162	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  infcinf 7118  ℝcr 7966   < clt 8149   ≤ cle 8150  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  ...cfz 10172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-apti 8082

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-sup 7119  df-inf 7120  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-neg 8288  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173

This theorem is referenced by: (None)