Theorem inffz 15632

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inffz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	zred 9442	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3		simprr 531	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	zred 9442	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	2, 4	lttri3d 8136	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 < 𝑥)))
6		eluzel2 9600	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzfz1 10100	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8		elfzle1 10096	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑧)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑧)
10	6	zred 9442	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
11		elfzelz 10094	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℤ)
12	11	zred 9442	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑧 ∈ ℝ)
13		lenlt 8097	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
14	10, 12, 13	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < 𝑀))
15	9, 14	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑧 < 𝑀)
16	5, 6, 7, 15	infminti 7088	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → inf((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  infcinf 7044  ℝcr 7873   < clt 8056   ≤ cle 8057  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-apti 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by: (None)