Theorem supfz 12188

Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
supfz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> sup ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = N )

Proof of Theorem supfz

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 499	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
2	1	zred 8929	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. RR )
3		simprr 500	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
4	3	zred 8929	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. RR )
5	2, 4	lttri3d 7660	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x = y <-> ( -. x < y /\ -. y < x ) ) )
6		eluzelz 9089	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7		eluzfz2 9507	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
8		elfzle2 9503	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> z <_ N )
9	8	adantl 272	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> z <_ N )
10		elfzelz 9501	. . . . 5 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. ZZ )
11	10	zred 8929	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. RR )
12	6	zred 8929	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
13		lenlt 7622	. . . 4 |- ( ( z e. RR /\ N e. RR ) -> ( z <_ N <-> -. N < z ) )
14	11, 12, 13	syl2anr 285	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> ( z <_ N <-> -. N < z ) )
15	9, 14	mpbid 146	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> -. N < z )
16	5, 6, 7, 15	supmaxti 6753	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> sup ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   supcsup 6731   RRcr 7410   < clt 7583   <_ cle 7584   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080   ...cfz 9485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-apti 7521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sup 6733  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-neg 7717  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486

This theorem is referenced by: (None)