Theorem supfz 15173

Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
supfz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> sup ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = N )

Proof of Theorem supfz

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
2	1	zred 9389	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. RR )
3		simprr 531	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
4	3	zred 9389	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. RR )
5	2, 4	lttri3d 8086	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x = y <-> ( -. x < y /\ -. y < x ) ) )
6		eluzelz 9551	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7		eluzfz2 10046	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
8		elfzle2 10042	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> z <_ N )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> z <_ N )
10		elfzelz 10039	. . . . 5 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. ZZ )
11	10	zred 9389	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. RR )
12	6	zred 9389	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
13		lenlt 8047	. . . 4 |- ( ( z e. RR /\ N e. RR ) -> ( z <_ N <-> -. N < z ) )
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> ( z <_ N <-> -. N < z ) )
15	9, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> -. N < z )
16	5, 6, 7, 15	supmaxti 7017	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> sup ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   supcsup 6995   RRcr 7824   < clt 8006   <_ cle 8007   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542   ...cfz 10022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-apti 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-neg 8145  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023

This theorem is referenced by: (None)