Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supfz Unicode version

Theorem supfz 13328
Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
supfz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )

Proof of Theorem supfz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 520 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  ZZ )
21zred 9185 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  RR )
3 simprr 521 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  ZZ )
43zred 9185 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  RR )
52, 4lttri3d 7890 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( x  =  y  <->  ( -.  x  <  y  /\  -.  y  <  x ) ) )
6 eluzelz 9347 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzfz2 9824 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
8 elfzle2 9820 . . . 4  |-  ( z  e.  ( M ... N )  ->  z  <_  N )
98adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  z  <_  N )
10 elfzelz 9818 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( M ... N )  ->  z  e.  ZZ )
1110zred 9185 . . . 4  |-  ( z  e.  ( M ... N )  ->  z  e.  RR )
126zred 9185 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
13 lenlt 7852 . . . 4  |-  ( ( z  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( z  <_  N  <->  -.  N  <  z ) )
1411, 12, 13syl2anr 288 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  (
z  <_  N  <->  -.  N  <  z ) )
159, 14mpbid 146 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  N  <  z )
165, 6, 7, 15supmaxti 6891 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   supcsup 6869   RRcr 7631    < clt 7812    <_ cle 7813   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-apti 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-neg 7948  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator