Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supfz Unicode version

Theorem supfz 14065
Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
supfz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )

Proof of Theorem supfz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 526 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  ZZ )
21zred 9327 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  RR )
3 simprr 527 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  ZZ )
43zred 9327 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  RR )
52, 4lttri3d 8027 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( x  =  y  <->  ( -.  x  <  y  /\  -.  y  <  x ) ) )
6 eluzelz 9489 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzfz2 9981 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
8 elfzle2 9977 . . . 4  |-  ( z  e.  ( M ... N )  ->  z  <_  N )
98adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  z  <_  N )
10 elfzelz 9974 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( M ... N )  ->  z  e.  ZZ )
1110zred 9327 . . . 4  |-  ( z  e.  ( M ... N )  ->  z  e.  RR )
126zred 9327 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
13 lenlt 7988 . . . 4  |-  ( ( z  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( z  <_  N  <->  -.  N  <  z ) )
1411, 12, 13syl2anr 288 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  (
z  <_  N  <->  -.  N  <  z ) )
159, 14mpbid 146 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  N  <  z )
165, 6, 7, 15supmaxti 6979 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   supcsup 6957   RRcr 7766    < clt 7947    <_ cle 7948   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480   ...cfz 9958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-apti 7882
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-sup 6959  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-neg 8086  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator