Theorem supfz 14669

Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
supfz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> sup ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = N )

Proof of Theorem supfz

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
2	1	zred 9370	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. RR )
3		simprr 531	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
4	3	zred 9370	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. RR )
5	2, 4	lttri3d 8067	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x = y <-> ( -. x < y /\ -. y < x ) ) )
6		eluzelz 9532	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7		eluzfz2 10026	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
8		elfzle2 10022	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> z <_ N )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> z <_ N )
10		elfzelz 10019	. . . . 5 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. ZZ )
11	10	zred 9370	. . . 4 |- ( z e. ( M ... N ) -> z e. RR )
12	6	zred 9370	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
13		lenlt 8028	. . . 4 |- ( ( z e. RR /\ N e. RR ) -> ( z <_ N <-> -. N < z ) )
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> ( z <_ N <-> -. N < z ) )
15	9, 14	mpbid 147	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> -. N < z )
16	5, 6, 7, 15	supmaxti 6999	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> sup ( ( M ... N ) , ZZ , < ) = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4002   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   supcsup 6977   RRcr 7806   < clt 7987   <_ cle 7988   ZZcz 9248   ZZ>=cuz 9523   ...cfz 10003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-apti 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-sup 6979  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-neg 8126  df-z 9249  df-uz 9524  df-fz 10004

This theorem is referenced by: (None)