Theorem ioorebasg 10117

Description: Open intervals are elements of the set of all open intervals. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ioorebasg	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) e. ran (,) )

Proof of Theorem ioorebasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 10113	. . 3 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
2		ffn 5435	. . 3 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
4		fnovrn 6107	. 2 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) e. ran (,) )
5	3, 4	mp3an1 1337	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) e. ran (,) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   ~Pcpw 3621   X. cxp 4681   ran crn 4684   Fn wfn 5275   -->wf 5276  (class class class)co 5957   RRcr 7944   RR*cxr 8126   (,)cioo 10030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-ioo 10034

This theorem is referenced by:  iooretopg  15075  blssioo  15100  tgioo  15101