Theorem ioof 10250

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	|- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 10187	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x (,) y ) = { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		ioossre 10214	. . . . 5 |- ( x (,) y ) C_ RR
3		df-ov 6031	. . . . . . 7 |- ( x (,) y ) = ( (,) ` <. x , y >. )
4		iooex 10186	. . . . . . . 8 |- (,) e. _V
5		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
6		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
7	5, 6	opex 4327	. . . . . . . 8 |- <. x , y >. e. _V
8	4, 7	fvex 5668	. . . . . . 7 |- ( (,) ` <. x , y >. ) e. _V
9	3, 8	eqeltri 2304	. . . . . 6 |- ( x (,) y ) e. _V
10	9	elpw 3662	. . . . 5 |- ( ( x (,) y ) e. ~P RR <-> ( x (,) y ) C_ RR )
11	2, 10	mpbir 146	. . . 4 |- ( x (,) y ) e. ~P RR
12	1, 11	eqeltrrdi 2323	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR )
13	12	rgen2a 2587	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR
14		df-ioo 10171	. . 3 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
15	14	fmpo 6375	. 2 |- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR <-> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
16	13, 15	mpbi 145	1 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   <.cop 3676   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8074   RR*cxr 8255   < clt 8256   (,)cioo 10167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-ioo 10171

This theorem is referenced by:  unirnioo  10252  dfioo2  10253  ioorebasg  10254  qtopbasss  15315  retopbas  15317  tgioo  15348  tgqioo  15349