Theorem ioof 9747

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	|- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9684	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x (,) y ) = { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		ioossre 9711	. . . . 5 |- ( x (,) y ) C_ RR
3		df-ov 5770	. . . . . . 7 |- ( x (,) y ) = ( (,) ` <. x , y >. )
4		iooex 9683	. . . . . . . 8 |- (,) e. _V
5		vex 2684	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
6		vex 2684	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
7	5, 6	opex 4146	. . . . . . . 8 |- <. x , y >. e. _V
8	4, 7	fvex 5434	. . . . . . 7 |- ( (,) ` <. x , y >. ) e. _V
9	3, 8	eqeltri 2210	. . . . . 6 |- ( x (,) y ) e. _V
10	9	elpw 3511	. . . . 5 |- ( ( x (,) y ) e. ~P RR <-> ( x (,) y ) C_ RR )
11	2, 10	mpbir 145	. . . 4 |- ( x (,) y ) e. ~P RR
12	1, 11	eqeltrrdi 2229	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR )
13	12	rgen2a 2484	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR
14		df-ioo 9668	. . 3 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
15	14	fmpo 6092	. 2 |- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR <-> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
16	13, 15	mpbi 144	1 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Syntax hints:   /\ wa 103   e. wcel 1480   A.wral 2414   {crab 2418   _Vcvv 2681   C_ wss 3066   ~Pcpw 3505   <.cop 3525   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   RR*cxr 7792   < clt 7793   (,)cioo 9664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-ioo 9668

This theorem is referenced by:  unirnioo  9749  dfioo2  9750  ioorebasg  9751  qtopbasss  12679  retopbas  12681  tgioo  12704  tgqioo  12705