Theorem ioof 9784

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	|- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9721	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x (,) y ) = { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		ioossre 9748	. . . . 5 |- ( x (,) y ) C_ RR
3		df-ov 5785	. . . . . . 7 |- ( x (,) y ) = ( (,) ` <. x , y >. )
4		iooex 9720	. . . . . . . 8 |- (,) e. _V
5		vex 2692	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
6		vex 2692	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
7	5, 6	opex 4159	. . . . . . . 8 |- <. x , y >. e. _V
8	4, 7	fvex 5449	. . . . . . 7 |- ( (,) ` <. x , y >. ) e. _V
9	3, 8	eqeltri 2213	. . . . . 6 |- ( x (,) y ) e. _V
10	9	elpw 3521	. . . . 5 |- ( ( x (,) y ) e. ~P RR <-> ( x (,) y ) C_ RR )
11	2, 10	mpbir 145	. . . 4 |- ( x (,) y ) e. ~P RR
12	1, 11	eqeltrrdi 2232	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR )
13	12	rgen2a 2489	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR
14		df-ioo 9705	. . 3 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
15	14	fmpo 6107	. 2 |- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR <-> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
16	13, 15	mpbi 144	1 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Syntax hints:   /\ wa 103   e. wcel 1481   A.wral 2417   {crab 2421   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   <.cop 3535   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   RR*cxr 7823   < clt 7824   (,)cioo 9701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-ioo 9705

This theorem is referenced by:  unirnioo  9786  dfioo2  9787  ioorebasg  9788  qtopbasss  12729  retopbas  12731  tgioo  12754  tgqioo  12755