Theorem iscn2 15191

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K". Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U. J
iscn.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
iscn2	|- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, J   y, K   y, X   y, F   y, Y

Proof of Theorem iscn2

Dummy variables f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cn 15179	. . 3 |- Cn = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( `' f " y ) e. j } )
2	1	elmpocl 6257	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
3		iscn.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	toptopon 15009	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
5		iscn.2	. . . 4 |- Y = U. K
6	5	toptopon 15009	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
7		iscn 15188	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
8	4, 6, 7	syl2anb 291	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
9	2, 8	biadanii 617	1 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   U.cuni 3919   `'ccnv 4753   "cima 4757   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   Cn ccn 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-top 14989  df-topon 15002  df-cn 15179

This theorem is referenced by:  cntop1  15192  cntop2  15193  cnf  15195  cnima  15211  cnco  15212