Theorem iscn2 15065

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K". Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U. J
iscn.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
iscn2	|- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, J   y, K   y, X   y, F   y, Y

Proof of Theorem iscn2

Dummy variables f j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cn 15053	. . 3 |- Cn = ( j e. Top , k e. Top |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( `' f " y ) e. j } )
2	1	elmpocl 6249	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
3		iscn.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	toptopon 14883	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
5		iscn.2	. . . 4 |- Y = U. K
6	5	toptopon 14883	. . 3 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
7		iscn 15062	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
8	4, 6, 7	syl2anb 291	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
9	2, 8	biadanii 617	1 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   U.cuni 3914   `'ccnv 4748   "cima 4752   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   Cn ccn 15050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-top 14863  df-topon 14876  df-cn 15053

This theorem is referenced by:  cntop1  15066  cntop2  15067  cnf  15069  cnima  15085  cnco  15086