Theorem iscnp 14756

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K at point P". Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscnp	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, F, y   x, P, y   x, Y, y

Proof of Theorem iscnp

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpval 14755	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
2	1	eleq2d 2276	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) )
3		fveq1 5593	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` P ) = ( F ` P ) )
4	3	eleq1d 2275	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` P ) e. y <-> ( F ` P ) e. y ) )
5		imaeq1 5031	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f " x ) = ( F " x ) )
6	5	sseq1d 3226	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f " x ) C_ y <-> ( F " x ) C_ y ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
8	7	rexbidv 2508	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
10	9	ralbidv 2507	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
11	10	elrab 2933	. . . 4 |- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
12		toponmax 14582	. . . . . 6 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
13		toponmax 14582	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
14		elmapg 6766	. . . . . 6 |- ( ( Y e. K /\ X e. J ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
15	12, 13, 14	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
16	15	anbi1d 465	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
17	11, 16	bitrid 192	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
18	17	3adant3 1020	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
19	2, 18	bitrd 188	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   {crab 2489   C_ wss 3170   "cima 4691   -->wf 5281   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   ^m cmap 6753  TopOnctopon 14567   CnP ccnp 14743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-map 6755  df-top 14555  df-topon 14568  df-cnp 14746

This theorem is referenced by:  iscnp3  14760  cnpf2  14764  tgcnp  14766  icnpimaex  14768  iscnp4  14775  cnpnei  14776  cnptopco  14779  cnconst2  14790  cnptopresti  14795  cnptoprest  14796  cnptoprest2  14797