Theorem iscnp 12839

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K at point P". Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscnp	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, F, y   x, P, y   x, Y, y

Proof of Theorem iscnp

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpval 12838	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
2	1	eleq2d 2236	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) )
3		fveq1 5485	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` P ) = ( F ` P ) )
4	3	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` P ) e. y <-> ( F ` P ) e. y ) )
5		imaeq1 4941	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f " x ) = ( F " x ) )
6	5	sseq1d 3171	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f " x ) C_ y <-> ( F " x ) C_ y ) )
7	6	anbi2d 460	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
8	7	rexbidv 2467	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
9	4, 8	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
10	9	ralbidv 2466	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
11	10	elrab 2882	. . . 4 |- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
12		toponmax 12663	. . . . . 6 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
13		toponmax 12663	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
14		elmapg 6627	. . . . . 6 |- ( ( Y e. K /\ X e. J ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
15	12, 13, 14	syl2anr 288	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
16	15	anbi1d 461	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
17	11, 16	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
18	17	3adant3 1007	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
19	2, 18	bitrd 187	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   C_ wss 3116   "cima 4607   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614  TopOnctopon 12648   CnP ccnp 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-top 12636  df-topon 12649  df-cnp 12829

This theorem is referenced by:  iscnp3  12843  cnpf2  12847  tgcnp  12849  icnpimaex  12851  iscnp4  12858  cnpnei  12859  cnptopco  12862  cnconst2  12873  cnptopresti  12878  cnptoprest  12879  cnptoprest2  12880