Theorem iscnp 15223

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K at point P". Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscnp	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, F, y   x, P, y   x, Y, y

Proof of Theorem iscnp

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpval 15222	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
2	1	eleq2d 2308	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) )
3		fveq1 5689	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` P ) = ( F ` P ) )
4	3	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` P ) e. y <-> ( F ` P ) e. y ) )
5		imaeq1 5116	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f " x ) = ( F " x ) )
6	5	sseq1d 3277	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f " x ) C_ y <-> ( F " x ) C_ y ) )
7	6	anbi2d 468	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
8	7	rexbidv 2551	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
10	9	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
11	10	elrab 2982	. . . 4 |- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
12		toponmax 15049	. . . . . 6 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
13		toponmax 15049	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
14		elmapg 6925	. . . . . 6 |- ( ( Y e. K /\ X e. J ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
15	12, 13, 14	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
16	15	anbi1d 469	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
17	11, 16	bitrid 192	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
18	17	3adant3 1048	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
19	2, 18	bitrd 188	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   "cima 4772   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912  TopOnctopon 15034   CnP ccnp 15210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-top 15022  df-topon 15035  df-cnp 15213

This theorem is referenced by:  iscnp3  15227  cnpf2  15231  tgcnp  15233  icnpimaex  15235  iscnp4  15242  cnpnei  15243  cnptopco  15246  cnconst2  15257  cnptopresti  15262  cnptoprest  15263  cnptoprest2  15264