Theorem iscnp 14435

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K at point P". Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscnp	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, F, y   x, P, y   x, Y, y

Proof of Theorem iscnp

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnpval 14434	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } )
2	1	eleq2d 2266	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) )
3		fveq1 5557	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` P ) = ( F ` P ) )
4	3	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` P ) e. y <-> ( F ` P ) e. y ) )
5		imaeq1 5004	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f " x ) = ( F " x ) )
6	5	sseq1d 3212	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f " x ) C_ y <-> ( F " x ) C_ y ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
8	7	rexbidv 2498	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
10	9	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
11	10	elrab 2920	. . . 4 |- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
12		toponmax 14261	. . . . . 6 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
13		toponmax 14261	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
14		elmapg 6720	. . . . . 6 |- ( ( Y e. K /\ X e. J ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
15	12, 13, 14	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
16	15	anbi1d 465	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
17	11, 16	bitrid 192	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
18	17	3adant3 1019	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
19	2, 18	bitrd 188	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   "cima 4666   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ^m cmap 6707  TopOnctopon 14246   CnP ccnp 14422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-top 14234  df-topon 14247  df-cnp 14425

This theorem is referenced by:  iscnp3  14439  cnpf2  14443  tgcnp  14445  icnpimaex  14447  iscnp4  14454  cnpnei  14455  cnptopco  14458  cnconst2  14469  cnptopresti  14474  cnptoprest  14475  cnptoprest2  14476