Theorem cntop2 15067

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	|- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2232	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 15065	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 274	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simprd 114	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   A.wral 2520   U.cuni 3914   `'ccnv 4748   "cima 4752   -->wf 5348  (class class class)co 6050   Topctop 14862   Cn ccn 15050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-top 14863  df-topon 14876  df-cn 15053

This theorem is referenced by:  cnco  15086  cnntri  15089  cnss1  15091  cncnpi  15093  cncnp2m  15096  cnrest  15100  cnrest2r  15102  lmcn  15116  txcnmpt  15138  uptx  15139  lmcn2  15145  cnmpt11  15148  cnmpt11f  15149  cnmpt1t  15150  cnmpt12  15152  cnmpt21  15156  cnmpt2t  15158  cnmpt22  15159  cnmpt22f  15160  cnmptcom  15163  hmeof1o  15174  hmeontr  15178  hmeores  15180  txhmeo  15184