Theorem cntop2 12371

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	|- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2139	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 12369	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 272	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simprd 113	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   A.wral 2416   U.cuni 3736   `'ccnv 4538   "cima 4542   -->wf 5119  (class class class)co 5774   Topctop 12164   Cn ccn 12354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12165  df-topon 12178  df-cn 12357

This theorem is referenced by:  cnco  12390  cnntri  12393  cnss1  12395  cncnpi  12397  cncnp2m  12400  cnrest  12404  cnrest2r  12406  lmcn  12420  txcnmpt  12442  uptx  12443  lmcn2  12449  cnmpt11  12452  cnmpt11f  12453  cnmpt1t  12454  cnmpt12  12456  cnmpt21  12460  cnmpt2t  12462  cnmpt22  12463  cnmpt22f  12464  cnmptcom  12467  hmeof1o  12478  hmeontr  12482  hmeores  12484  txhmeo  12488