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Theorem iseqvalcbv 10365
Description: Changing the bound variables in an expression which appears in some  seq related proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
iseqvalcbv  |- frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( a  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <.
( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
Distinct variable groups:    .+ , a, b, c, d, x, y   
w,  .+ , z, c,
d    F, a, b, c, d, x, y    w, F, z    M, a, b, c, d, x, y   
w, M, z    S, a, b, c, d, x, y    w, S, z    T, a, b, x, y
Allowed substitution hints:    T( z, w, c, d)

Proof of Theorem iseqvalcbv
StepHypRef Expression
1 oveq1 5833 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  (
c  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
21fveq2d 5474 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  ( F `  ( c  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
32oveq2d 5842 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  z  ->  (
d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) )  =  ( d  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4 oveq1 5833 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  w  ->  (
d  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) )  =  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
53, 4cbvmpov 5903 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
65oveqi 5839 . . . . . 6  |-  ( x ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
76opeq2i 3747 . . . . 5  |-  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >.  =  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
87a1i 9 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  T )  ->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >.  =  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. )
98mpoeq3ia 5888 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y )
>. )  =  (
x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. )
10 oveq1 5833 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
x  +  1 )  =  ( a  +  1 ) )
11 oveq1 5833 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) )
1210, 11opeq12d 3751 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >.  =  <. ( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >. )
13 oveq2 5834 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  (
a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) )
1413opeq2d 3750 . . . 4  |-  ( y  =  b  ->  <. (
a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >.  =  <. ( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >. )
1512, 14cbvmpov 5903 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y )
>. )  =  (
a  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <. (
a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >. )
169, 15eqtr3i 2180 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. )  =  (
a  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <. (
a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >. )
17 freceq1 6341 . 2  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. )  =  ( a  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |-> 
<. ( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >.
)  -> frec ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( a  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <.
( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) )
1816, 17ax-mp 5 1  |- frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( a  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <.
( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   <.cop 3564   ` cfv 5172  (class class class)co 5826    e. cmpo 5828  freccfrec 6339   1c1 7735    + caddc 7737   ZZ>=cuz 9444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-res 4600  df-iota 5137  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-recs 6254  df-frec 6340
This theorem is referenced by:  seq3-1  10368  seqf  10369  seq3p1  10370  seqf2  10372  seq1cd  10373  seqp1cd  10374
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