Theorem iseqvalcbv 10459

Description: Changing the bound variables in an expression which appears in some seq related proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
iseqvalcbv	|- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )

Distinct variable groups:   .+ , a, b, c, d, x, y   w, .+ , z, c, d   F, a, b, c, d, x, y   w, F, z   M, a, b, c, d, x, y   w, M, z   S, a, b, c, d, x, y   w, S, z   T, a, b, x, y

Allowed substitution hints:   T( z, w, c, d)

Proof of Theorem iseqvalcbv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5884	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( c + 1 ) = ( z + 1 ) )
2	1	fveq2d 5521	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( F ` ( c + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) )
3	2	oveq2d 5893	. . . . . . . 8 |- ( c = z -> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) = ( d .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
4		oveq1 5884	. . . . . . . 8 |- ( d = w -> ( d .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
5	3, 4	cbvmpov 5957	. . . . . . 7 |- ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
6	5	oveqi 5890	. . . . . 6 |- ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) = ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y )
7	6	opeq2i 3784	. . . . 5 |- <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >.
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. T ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
9	8	mpoeq3ia 5942	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
10		oveq1 5884	. . . . 5 |- ( x = a -> ( x + 1 ) = ( a + 1 ) )
11		oveq1 5884	. . . . 5 |- ( x = a -> ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) = ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) )
12	10, 11	opeq12d 3788	. . . 4 |- ( x = a -> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. )
13		oveq2 5885	. . . . 5 |- ( y = b -> ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) = ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) )
14	13	opeq2d 3787	. . . 4 |- ( y = b -> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. )
15	12, 14	cbvmpov 5957	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. )
16	9, 15	eqtr3i 2200	. 2 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. )
17		freceq1 6395	. 2 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
18	16, 17	ax-mp 5	1 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3597   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   e. cmpo 5879  freccfrec 6393   1c1 7814   + caddc 7816   ZZ>=cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-res 4640  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394

This theorem is referenced by:  seq3-1  10462  seqf  10463  seq3p1  10464  seqf2  10466  seq1cd  10467  seqp1cd  10468