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Theorem iseqvalcbv 10452
Description: Changing the bound variables in an expression which appears in some  seq related proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
iseqvalcbv  |- frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( a  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <.
( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
Distinct variable groups:    .+ , a, b, c, d, x, y   
w,  .+ , z, c,
d    F, a, b, c, d, x, y    w, F, z    M, a, b, c, d, x, y   
w, M, z    S, a, b, c, d, x, y    w, S, z    T, a, b, x, y
Allowed substitution hints:    T( z, w, c, d)

Proof of Theorem iseqvalcbv
StepHypRef Expression
1 oveq1 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  (
c  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
21fveq2d 5518 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  ( F `  ( c  +  1 ) )  =  ( F `  ( z  +  1 ) ) )
32oveq2d 5888 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  z  ->  (
d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) )  =  ( d  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
4 oveq1 5879 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  w  ->  (
d  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) )  =  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
53, 4cbvmpov 5952 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
65oveqi 5885 . . . . . 6  |-  ( x ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
76opeq2i 3782 . . . . 5  |-  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >.  =  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
87a1i 9 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  T )  ->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >.  =  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. )
98mpoeq3ia 5937 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y )
>. )  =  (
x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. )
10 oveq1 5879 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
x  +  1 )  =  ( a  +  1 ) )
11 oveq1 5879 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) )
1210, 11opeq12d 3786 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >.  =  <. ( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >. )
13 oveq2 5880 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  (
a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) )
1413opeq2d 3785 . . . 4  |-  ( y  =  b  ->  <. (
a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y ) >.  =  <. ( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >. )
1512, 14cbvmpov 5952 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) y )
>. )  =  (
a  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <. (
a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >. )
169, 15eqtr3i 2200 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  y  e.  T  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. )  =  (
a  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <. (
a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >. )
17 freceq1 6390 . 2  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. )  =  ( a  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |-> 
<. ( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >.
)  -> frec ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( a  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <.
( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) )
1816, 17ax-mp 5 1  |- frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( a  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <.
( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3595   ` cfv 5215  (class class class)co 5872    e. cmpo 5874  freccfrec 6388   1c1 7809    + caddc 7811   ZZ>=cuz 9524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-res 4637  df-iota 5177  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-recs 6303  df-frec 6389
This theorem is referenced by:  seq3-1  10455  seqf  10456  seq3p1  10457  seqf2  10459  seq1cd  10460  seqp1cd  10461
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