Theorem iseqvalcbv 10681

Description: Changing the bound variables in an expression which appears in some seq related proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
iseqvalcbv	|- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )

Distinct variable groups:   .+ , a, b, c, d, x, y   w, .+ , z, c, d   F, a, b, c, d, x, y   w, F, z   M, a, b, c, d, x, y   w, M, z   S, a, b, c, d, x, y   w, S, z   T, a, b, x, y

Allowed substitution hints:   T( z, w, c, d)

Proof of Theorem iseqvalcbv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( c + 1 ) = ( z + 1 ) )
2	1	fveq2d 5631	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( F ` ( c + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) )
3	2	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 |- ( c = z -> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) = ( d .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
4		oveq1 6008	. . . . . . . 8 |- ( d = w -> ( d .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
5	3, 4	cbvmpov 6084	. . . . . . 7 |- ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
6	5	oveqi 6014	. . . . . 6 |- ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) = ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y )
7	6	opeq2i 3861	. . . . 5 |- <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >.
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. T ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
9	8	mpoeq3ia 6069	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
10		oveq1 6008	. . . . 5 |- ( x = a -> ( x + 1 ) = ( a + 1 ) )
11		oveq1 6008	. . . . 5 |- ( x = a -> ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) = ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) )
12	10, 11	opeq12d 3865	. . . 4 |- ( x = a -> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. )
13		oveq2 6009	. . . . 5 |- ( y = b -> ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) = ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) )
14	13	opeq2d 3864	. . . 4 |- ( y = b -> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. )
15	12, 14	cbvmpov 6084	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. )
16	9, 15	eqtr3i 2252	. 2 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. )
17		freceq1 6538	. 2 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
18	16, 17	ax-mp 5	1 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003  freccfrec 6536   1c1 8000   + caddc 8002   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-res 4731  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-recs 6451  df-frec 6537

This theorem is referenced by:  seq3-1  10684  seqf  10686  seq3p1  10687  seqf2  10690  seq1cd  10691  seqp1cd  10692