Theorem iseqvalcbv 10641

Description: Changing the bound variables in an expression which appears in some seq related proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
iseqvalcbv	|- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )

Distinct variable groups:   .+ , a, b, c, d, x, y   w, .+ , z, c, d   F, a, b, c, d, x, y   w, F, z   M, a, b, c, d, x, y   w, M, z   S, a, b, c, d, x, y   w, S, z   T, a, b, x, y

Allowed substitution hints:   T( z, w, c, d)

Proof of Theorem iseqvalcbv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5974	. . . . . . . . . 10 |- ( c = z -> ( c + 1 ) = ( z + 1 ) )
2	1	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9 |- ( c = z -> ( F ` ( c + 1 ) ) = ( F ` ( z + 1 ) ) )
3	2	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 |- ( c = z -> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) = ( d .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
4		oveq1 5974	. . . . . . . 8 |- ( d = w -> ( d .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
5	3, 4	cbvmpov 6048	. . . . . . 7 |- ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
6	5	oveqi 5980	. . . . . 6 |- ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) = ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y )
7	6	opeq2i 3837	. . . . 5 |- <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >.
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. T ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
9	8	mpoeq3ia 6033	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
10		oveq1 5974	. . . . 5 |- ( x = a -> ( x + 1 ) = ( a + 1 ) )
11		oveq1 5974	. . . . 5 |- ( x = a -> ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) = ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) )
12	10, 11	opeq12d 3841	. . . 4 |- ( x = a -> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. )
13		oveq2 5975	. . . . 5 |- ( y = b -> ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) = ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) )
14	13	opeq2d 3840	. . . 4 |- ( y = b -> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. )
15	12, 14	cbvmpov 6048	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. )
16	9, 15	eqtr3i 2230	. 2 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. )
17		freceq1 6501	. 2 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
18	16, 17	ax-mp 5	1 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. T |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969  freccfrec 6499   1c1 7961   + caddc 7963   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-res 4705  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-recs 6414  df-frec 6500

This theorem is referenced by:  seq3-1  10644  seqf  10646  seq3p1  10647  seqf2  10650  seq1cd  10651  seqp1cd  10652