Theorem seq3-1 10462

Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3-1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3-1.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3-1.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3-1	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3-1

Dummy variables a b w z c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3-1.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fveq2 5517	. . . 4 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
3	2	eleq1d 2246	. . 3 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
4		seq3-1.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
5	4	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
6		uzid 9544	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
7	1, 6	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8	3, 5, 7	rspcdva 2848	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
9		ssv 3179	. . 3 |- S C_ _V
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ _V )
11		seq3-1.pl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
12	4, 11	iseqovex 10458	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. S )
13		iseqvalcbv 10459	. 2 |- frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. _V |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
14	1, 13, 4, 11	seq3val 10460	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. _V |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
15	1, 8, 10, 12, 13, 14	frecuzrdg0t 10424	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   <.cop 3597   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   e. cmpo 5879  freccfrec 6393   1c1 7814   + caddc 7816   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   seqcseq 10447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448

This theorem is referenced by:  seq3clss  10469  seq3fveq2  10471  seq3fveq  10473  seq3shft2  10475  seq3split  10481  seq3-1p  10482  seq3caopr3  10483  seq3id3  10509  seq3id  10510  seq3homo  10512  seq3z  10513  ser3ge0  10519  exp3vallem  10523  exp1  10528  fac1  10711  bcn2  10746  seq3coll  10824  resqrexlemf1  11019  sumsnf  11419  isumrpcl  11504  clim2prod  11549  prodfap0  11555  prodfrecap  11556  prodsnf  11602  ef0lem  11670  ege2le3  11681  efgt1p2  11705  efgt1p  11706  ialgr0  12046  pcmpt  12343  mulg1  12995