Theorem seq3-1 10912

Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3-1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3-1.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3-1.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3-1	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3-1

Dummy variables a b w z c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3-1.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fveq2 5695	. . . 4 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
3	2	eleq1d 2307	. . 3 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
4		seq3-1.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
5	4	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
6		uzid 9945	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
7	1, 6	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8	3, 5, 7	rspcdva 2934	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
9		ssv 3270	. . 3 |- S C_ _V
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ _V )
11		seq3-1.pl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
12	4, 11	iseqovex 10908	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. S )
13		iseqvalcbv 10909	. 2 |- frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. _V |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
14	1, 13, 4, 11	seq3val 10910	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. _V |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
15	1, 8, 10, 12, 13, 14	frecuzrdg0t 10872	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   <.cop 3712   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087  freccfrec 6661   1c1 8180   + caddc 8182   ZZcz 9648   ZZ>=cuz 9930   seqcseq 10897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-seqfrec 10898

This theorem is used by:  seq1g  10913  seq3clss  10921  seq3fveq2  10925  seq3fveq  10929  seq3shft2  10931  seq3split  10938  seq3-1p  10940  seq3caopr3  10941  seq3id3  10974  seq3id  10975  seq3homo  10977  seq3z  10978  seqfeq4g  10981  ser3ge0  10986  exp3vallem  10990  exp1  10995  fac1  11181  bcn2  11216  seq3coll  11308  resqrexlemf1  11788  sumsnf  12192  isumrpcl  12277  clim2prod  12322  prodfap0  12328  prodfrecap  12329  prodsnf  12375  ef0lem  12443  ege2le3  12454  efgt1p2  12478  efgt1p  12479  ialgr0  12838  pcmpt  13142  gzsumsplit1r  13764  mulg1  13981  logfac  16048  bposlem5  16213  depindlem1  16845