ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3-1 Unicode version

Theorem seq3-1 10226
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3-1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
seq3-1.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seq3-1.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seq3-1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, F, y    x, M, y    x, S, y    ph, x, y

Proof of Theorem seq3-1
Dummy variables  a  b  w  z  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3-1.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5414 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
32eleq1d 2206 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
4 seq3-1.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
54ralrimiva 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  x )  e.  S )
6 uzid 9333 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
71, 6syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
83, 5, 7rspcdva 2789 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
9 ssv 3114 . . 3  |-  S  C_  _V
109a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  _V )
11 seq3-1.pl . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
124, 11iseqovex 10222 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  e.  S )
13 iseqvalcbv 10223 . 2  |- frec ( ( a  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  b  e.  _V  |->  <. (
a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
141, 13, 4, 11seq3val 10224 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  ran frec ( ( a  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  b  e.  _V  |->  <.
( a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d  .+  ( F `
 ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) )
151, 8, 10, 12, 13, 14frecuzrdg0t 10188 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2681    C_ wss 3066   <.cop 3525   ` cfv 5118  (class class class)co 5767    e. cmpo 5769  freccfrec 6280   1c1 7614    + caddc 7616   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319    seqcseq 10211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212
This theorem is referenced by:  seq3clss  10233  seq3fveq2  10235  seq3fveq  10237  seq3shft2  10239  seq3split  10245  seq3-1p  10246  seq3caopr3  10247  seq3id3  10273  seq3id  10274  seq3homo  10276  seq3z  10277  ser3ge0  10283  exp3vallem  10287  exp1  10292  fac1  10468  bcn2  10503  seq3coll  10578  resqrexlemf1  10773  sumsnf  11171  isumrpcl  11256  clim2prod  11301  prodfap0  11307  prodfrecap  11308  ef0lem  11355  ege2le3  11366  efgt1p2  11390  efgt1p  11391  ialgr0  11714
  Copyright terms: Public domain W3C validator