Theorem seq3-1 10724

Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3-1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3-1.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3-1.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3-1	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3-1

Dummy variables a b w z c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3-1.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fveq2 5639	. . . 4 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
3	2	eleq1d 2300	. . 3 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
4		seq3-1.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
5	4	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
6		uzid 9770	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
7	1, 6	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8	3, 5, 7	rspcdva 2915	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
9		ssv 3249	. . 3 |- S C_ _V
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> S C_ _V )
11		seq3-1.pl	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
12	4, 11	iseqovex 10720	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. S )
13		iseqvalcbv 10721	. 2 |- frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. _V |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
14	1, 13, 4, 11	seq3val 10722	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( a e. ( ZZ>= ` M ) , b e. _V |-> <. ( a + 1 ) , ( a ( c e. ( ZZ>= ` M ) , d e. S |-> ( d .+ ( F ` ( c + 1 ) ) ) ) b ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
15	1, 8, 10, 12, 13, 14	frecuzrdg0t 10684	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   <.cop 3672   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   e. cmpo 6020  freccfrec 6556   1c1 8033   + caddc 8035   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   seqcseq 10709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-seqfrec 10710

This theorem is referenced by:  seq1g  10725  seq3clss  10733  seq3fveq2  10737  seq3fveq  10741  seq3shft2  10743  seq3split  10750  seq3-1p  10752  seq3caopr3  10753  seq3id3  10786  seq3id  10787  seq3homo  10789  seq3z  10790  seqfeq4g  10793  ser3ge0  10798  exp3vallem  10802  exp1  10807  fac1  10991  bcn2  11026  seq3coll  11106  resqrexlemf1  11569  sumsnf  11971  isumrpcl  12056  clim2prod  12101  prodfap0  12107  prodfrecap  12108  prodsnf  12154  ef0lem  12222  ege2le3  12233  efgt1p2  12257  efgt1p  12258  ialgr0  12617  pcmpt  12917  gsumsplit1r  13482  gsumprval  13483  gsumfzz  13579  mulg1  13717