ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq1cd Unicode version

Theorem seq1cd 10462
Description: Initial value of the recursive sequence builder. A version of seq3-1 10457 which provides two classes 
D and  C for the terms and the value being accumulated, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seq1cd.1  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  C )
seq1cd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  C )
seq1cd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
seq1cd.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  D
)
Assertion
Ref Expression
seq1cd  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, M, y    ph, x, y

Proof of Theorem seq1cd
Dummy variables  s  t  w  z  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq1cd.4 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 seq1cd.1 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  C )
3 ssv 3177 . . 3  |-  C  C_  _V
43a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  C  C_  _V )
5 seq1cd.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  D
)
6 seq1cd.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  C )
75, 6seqovcd 10460 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  C  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  e.  C )
8 iseqvalcbv 10454 . 2  |- frec ( ( s  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  t  e.  _V  |->  <. (
s  +  1 ) ,  ( s ( u  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  v  e.  C  |->  ( v 
.+  ( F `  ( u  +  1
) ) ) ) t ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  C  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
91, 8, 2, 6, 5seqvalcd 10456 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  ran frec ( ( s  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  t  e.  _V  |->  <.
( s  +  1 ) ,  ( s ( u  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  v  e.  C  |->  ( v  .+  ( F `
 ( u  + 
1 ) ) ) ) t ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) )
101, 2, 4, 7, 8, 9frecuzrdg0t 10419 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    C_ wss 3129   <.cop 3595   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    e. cmpo 5876  freccfrec 6390   1c1 7811    + caddc 7813   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526    seqcseq 10442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443
This theorem is referenced by:  ennnfonelem0  12400
  Copyright terms: Public domain W3C validator