Theorem seq1cd 10400

Description: Initial value of the recursive sequence builder. A version of seq3-1 10395 which provides two classes D and C for the terms and the value being accumulated, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq1cd.1	|- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
seq1cd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
seq1cd.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq1cd.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )

Assertion

Ref	Expression
seq1cd	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, D, y   x, F, y   x, M, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq1cd

Dummy variables s t w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq1cd.4	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seq1cd.1	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
3		ssv 3164	. . 3 |- C C_ _V
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> C C_ _V )
5		seq1cd.5	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
6		seq1cd.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
7	5, 6	seqovcd 10398	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )
8		iseqvalcbv 10392	. 2 |- frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
9	1, 8, 2, 6, 5	seqvalcd 10394	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
10	1, 2, 4, 7, 8, 9	frecuzrdg0t 10357	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   <.cop 3579   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844  freccfrec 6358   1c1 7754   + caddc 7756   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  ennnfonelem0  12338