Theorem seq1cd 10467

Description: Initial value of the recursive sequence builder. A version of seq3-1 10462 which provides two classes D and C for the terms and the value being accumulated, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq1cd.1	|- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
seq1cd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
seq1cd.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq1cd.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )

Assertion

Ref	Expression
seq1cd	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, D, y   x, F, y   x, M, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq1cd

Dummy variables s t w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq1cd.4	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seq1cd.1	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
3		ssv 3179	. . 3 |- C C_ _V
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> C C_ _V )
5		seq1cd.5	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
6		seq1cd.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
7	5, 6	seqovcd 10465	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )
8		iseqvalcbv 10459	. 2 |- frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
9	1, 8, 2, 6, 5	seqvalcd 10461	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
10	1, 2, 4, 7, 8, 9	frecuzrdg0t 10424	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   <.cop 3597   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   e. cmpo 5879  freccfrec 6393   1c1 7814   + caddc 7816   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   seqcseq 10447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448

This theorem is referenced by:  ennnfonelem0  12408