Theorem seqf2 10240

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl2.1	|- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
seqcl2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
seqf2.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )
seqf2.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
seqf2.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )

Assertion

Ref	Expression
seqf2	|- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : Z --> C )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, D, y   x, F, y   x, M, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   Z( x, y)

Proof of Theorem seqf2

Dummy variables s t w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf2.4	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seqcl2.1	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
3		ssv 3119	. . . 4 |- C C_ _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> C C_ _V )
5		seqf2.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
6		seqcl2.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
7	5, 6	seqovcd 10239	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )
8		iseqvalcbv 10233	. . 3 |- frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
9	1, 8, 2, 6, 5	seqvalcd 10235	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
10	1, 2, 4, 7, 8, 9	frecuzrdgtclt 10197	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> C )
11		seqf2.3	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> Z = ( ZZ>= ` M ) )
13	12	feq2d 5260	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) : Z --> C <-> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> C ) )
14	10, 13	mpbird 166	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : Z --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   <.cop 3530   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  freccfrec 6287   1c1 7624   + caddc 7626   ZZcz 9057   ZZ>=cuz 9329   seqcseq 10221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-inn 8724  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-seqfrec 10222

This theorem is referenced by:  seqp1cd  10242  ennnfonelemh  11920  ennnfonelemom  11924