Theorem seqf2 10459

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl2.1	|- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
seqcl2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
seqf2.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )
seqf2.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
seqf2.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )

Assertion

Ref	Expression
seqf2	|- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : Z --> C )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, D, y   x, F, y   x, M, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   Z( x, y)

Proof of Theorem seqf2

Dummy variables s t w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf2.4	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seqcl2.1	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
3		ssv 3177	. . . 4 |- C C_ _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> C C_ _V )
5		seqf2.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
6		seqcl2.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
7	5, 6	seqovcd 10458	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )
8		iseqvalcbv 10452	. . 3 |- frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
9	1, 8, 2, 6, 5	seqvalcd 10454	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
10	1, 2, 4, 7, 8, 9	frecuzrdgtclt 10416	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> C )
11		seqf2.3	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> Z = ( ZZ>= ` M ) )
13	12	feq2d 5352	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) : Z --> C <-> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> C ) )
14	10, 13	mpbird 167	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : Z --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   <.cop 3595   -->wf 5211   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   e. cmpo 5874  freccfrec 6388   1c1 7809   + caddc 7811   ZZcz 9249   ZZ>=cuz 9524   seqcseq 10440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-seqfrec 10441

This theorem is referenced by:  seqp1cd  10461  ennnfonelemh  12397  ennnfonelemom  12401