Theorem seqf2 10615

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl2.1	|- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
seqcl2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
seqf2.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )
seqf2.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
seqf2.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )

Assertion

Ref	Expression
seqf2	|- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : Z --> C )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, D, y   x, F, y   x, M, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   Z( x, y)

Proof of Theorem seqf2

Dummy variables s t w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf2.4	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		seqcl2.1	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
3		ssv 3215	. . . 4 |- C C_ _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> C C_ _V )
5		seqf2.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
6		seqcl2.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
7	5, 6	seqovcd 10614	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )
8		iseqvalcbv 10606	. . 3 |- frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
9	1, 8, 2, 6, 5	seqvalcd 10608	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. C |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
10	1, 2, 4, 7, 8, 9	frecuzrdgtclt 10568	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> C )
11		seqf2.3	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> Z = ( ZZ>= ` M ) )
13	12	feq2d 5415	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) : Z --> C <-> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> C ) )
14	10, 13	mpbird 167	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : Z --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   <.cop 3636   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948  freccfrec 6478   1c1 7928   + caddc 7930   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   seqcseq 10594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-seqfrec 10595

This theorem is referenced by:  seqp1cd  10617  ennnfonelemh  12808  ennnfonelemom  12812