Theorem opeq12d 3636

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	|- ( ph -> A = B )
opeq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	|- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		opeq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		opeq12 3630	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> <. A , C >. = <. B , D >. )
4	1, 2, 3	syl2anc 404	1 |- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   <.cop 3453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-v 2622  df-un 3004  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459

This theorem is referenced by:  nfopd  3645  moop2  4087  fliftfuns  5591  elxp6  5954  dfmpt2  6002  tfrlemi1  6111  qliftfuns  6390  xpassen  6600  xpdom2  6601  xpf1o  6614  xpmapenlem  6619  xpmapen  6620  dfplpq2  6974  dfmpq2  6975  addpipqqs  6990  mulpipq2  6991  mulpipq  6992  mulpipqqs  6993  mulidnq  7009  addnq0mo  7067  mulnq0mo  7068  addnnnq0  7069  mulnnnq0  7070  nqnq0a  7074  nqnq0m  7075  nq0a0  7077  nq02m  7085  genpdf  7128  genipv  7129  genpelxp  7131  addcomprg  7198  mulcomprg  7200  prplnqu  7240  cauappcvgprlemlim  7281  caucvgprprlemell  7305  caucvgprprlemelu  7306  caucvgprprlemcbv  7307  caucvgprprlemval  7308  caucvgprprlemnkeqj  7310  caucvgprprlemml  7314  caucvgprprlemmu  7315  caucvgprprlemopl  7317  caucvgprprlemlol  7318  caucvgprprlemopu  7319  caucvgprprlemloc  7323  caucvgprprlemclphr  7325  caucvgprprlemexbt  7326  caucvgprprlem1  7329  caucvgprprlem2  7330  addsrmo  7350  mulsrmo  7351  addsrpr  7352  mulsrpr  7353  caucvgsr  7408  addcnsr  7432  mulcnsr  7433  mulresr  7436  pitonnlem2  7445  pitonn  7446  recidpipr  7454  axaddcom  7466  ax0id  7474  axcnre  7477  nntopi  7490  axcaucvglemval  7493  frecuzrdgrrn  9876  frec2uzrdg  9877  frecuzrdgrcl  9878  frecuzrdgsuc  9882  frecuzrdgrclt  9883  frecuzrdgg  9884  frecuzrdgsuctlem  9891  iseqeq1  9919  iseqvalcbv  9933  iseqvalt  9934  seq3val  9935  eucalgval2  11374  qnumdenbi  11509  crth  11539  phimullem  11540