Theorem opeq12d 3817

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	|- ( ph -> A = B )
opeq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	|- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		opeq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		opeq12 3811	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> <. A , C >. = <. B , D >. )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   <.cop 3626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632

This theorem is referenced by:  nfopd  3826  moop2  4285  fliftfuns  5848  elxp6  6236  dfmpo  6290  tfrlemi1  6399  qliftfuns  6687  xpassen  6898  xpdom2  6899  xpf1o  6914  xpmapenlem  6919  xpmapen  6920  dfplpq2  7438  dfmpq2  7439  addpipqqs  7454  mulpipq2  7455  mulpipq  7456  mulpipqqs  7457  mulidnq  7473  addnq0mo  7531  mulnq0mo  7532  addnnnq0  7533  mulnnnq0  7534  nqnq0a  7538  nqnq0m  7539  nq0a0  7541  nq02m  7549  genpdf  7592  genipv  7593  genpelxp  7595  addcomprg  7662  mulcomprg  7664  prplnqu  7704  cauappcvgprlemlim  7745  caucvgprprlemell  7769  caucvgprprlemelu  7770  caucvgprprlemcbv  7771  caucvgprprlemval  7772  caucvgprprlemnkeqj  7774  caucvgprprlemml  7778  caucvgprprlemmu  7779  caucvgprprlemopl  7781  caucvgprprlemlol  7782  caucvgprprlemopu  7783  caucvgprprlemloc  7787  caucvgprprlemclphr  7789  caucvgprprlemexbt  7790  caucvgprprlem1  7793  caucvgprprlem2  7794  addsrmo  7827  mulsrmo  7828  addsrpr  7829  mulsrpr  7830  caucvgsr  7886  addcnsr  7918  mulcnsr  7919  mulresr  7922  pitonnlem2  7931  pitonn  7932  recidpipr  7940  axaddcom  7954  ax0id  7962  axcnre  7965  nntopi  7978  axcaucvglemval  7981  frecuzrdgrrn  10517  frec2uzrdg  10518  frecuzrdgrcl  10519  frecuzrdgsuc  10523  frecuzrdgrclt  10524  frecuzrdgg  10525  frecuzrdgsuctlem  10532  seqeq1  10559  iseqvalcbv  10568  seq3val  10569  seqvalcd  10570  eucalgval2  12246  qnumdenbi  12385  crth  12417  phimullem  12418  ennnfonelemg  12645  ennnfonelem1  12649  ressval3d  12775  imasex  13007  imasival  13008  imasaddvallemg  13017  xpsff1o  13051  txcnp  14591  upxp  14592  uptx  14594  txlm  14599  cnmpt1t  14605  cnmpt2t  14613  txhmeo  14639  mpodvdsmulf1o  15310