Theorem opeq12d 3782

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	|- ( ph -> A = B )
opeq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	|- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		opeq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		opeq12 3776	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> <. A , C >. = <. B , D >. )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   <.cop 3592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-v 2737  df-un 3131  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598

This theorem is referenced by:  nfopd  3791  moop2  4245  fliftfuns  5789  elxp6  6160  dfmpo  6214  tfrlemi1  6323  qliftfuns  6609  xpassen  6820  xpdom2  6821  xpf1o  6834  xpmapenlem  6839  xpmapen  6840  dfplpq2  7328  dfmpq2  7329  addpipqqs  7344  mulpipq2  7345  mulpipq  7346  mulpipqqs  7347  mulidnq  7363  addnq0mo  7421  mulnq0mo  7422  addnnnq0  7423  mulnnnq0  7424  nqnq0a  7428  nqnq0m  7429  nq0a0  7431  nq02m  7439  genpdf  7482  genipv  7483  genpelxp  7485  addcomprg  7552  mulcomprg  7554  prplnqu  7594  cauappcvgprlemlim  7635  caucvgprprlemell  7659  caucvgprprlemelu  7660  caucvgprprlemcbv  7661  caucvgprprlemval  7662  caucvgprprlemnkeqj  7664  caucvgprprlemml  7668  caucvgprprlemmu  7669  caucvgprprlemopl  7671  caucvgprprlemlol  7672  caucvgprprlemopu  7673  caucvgprprlemloc  7677  caucvgprprlemclphr  7679  caucvgprprlemexbt  7680  caucvgprprlem1  7683  caucvgprprlem2  7684  addsrmo  7717  mulsrmo  7718  addsrpr  7719  mulsrpr  7720  caucvgsr  7776  addcnsr  7808  mulcnsr  7809  mulresr  7812  pitonnlem2  7821  pitonn  7822  recidpipr  7830  axaddcom  7844  ax0id  7852  axcnre  7855  nntopi  7868  axcaucvglemval  7871  frecuzrdgrrn  10378  frec2uzrdg  10379  frecuzrdgrcl  10380  frecuzrdgsuc  10384  frecuzrdgrclt  10385  frecuzrdgg  10386  frecuzrdgsuctlem  10393  seqeq1  10418  iseqvalcbv  10427  seq3val  10428  seqvalcd  10429  eucalgval2  12020  qnumdenbi  12159  crth  12191  phimullem  12192  ennnfonelemg  12371  ennnfonelem1  12375  txcnp  13342  upxp  13343  uptx  13345  txlm  13350  cnmpt1t  13356  cnmpt2t  13364  txhmeo  13390