Theorem opeq12d 3787

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	|- ( ph -> A = B )
opeq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	|- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		opeq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		opeq12 3781	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> <. A , C >. = <. B , D >. )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   <.cop 3596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-un 3134  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602

This theorem is referenced by:  nfopd  3796  moop2  4252  fliftfuns  5799  elxp6  6170  dfmpo  6224  tfrlemi1  6333  qliftfuns  6619  xpassen  6830  xpdom2  6831  xpf1o  6844  xpmapenlem  6849  xpmapen  6850  dfplpq2  7353  dfmpq2  7354  addpipqqs  7369  mulpipq2  7370  mulpipq  7371  mulpipqqs  7372  mulidnq  7388  addnq0mo  7446  mulnq0mo  7447  addnnnq0  7448  mulnnnq0  7449  nqnq0a  7453  nqnq0m  7454  nq0a0  7456  nq02m  7464  genpdf  7507  genipv  7508  genpelxp  7510  addcomprg  7577  mulcomprg  7579  prplnqu  7619  cauappcvgprlemlim  7660  caucvgprprlemell  7684  caucvgprprlemelu  7685  caucvgprprlemcbv  7686  caucvgprprlemval  7687  caucvgprprlemnkeqj  7689  caucvgprprlemml  7693  caucvgprprlemmu  7694  caucvgprprlemopl  7696  caucvgprprlemlol  7697  caucvgprprlemopu  7698  caucvgprprlemloc  7702  caucvgprprlemclphr  7704  caucvgprprlemexbt  7705  caucvgprprlem1  7708  caucvgprprlem2  7709  addsrmo  7742  mulsrmo  7743  addsrpr  7744  mulsrpr  7745  caucvgsr  7801  addcnsr  7833  mulcnsr  7834  mulresr  7837  pitonnlem2  7846  pitonn  7847  recidpipr  7855  axaddcom  7869  ax0id  7877  axcnre  7880  nntopi  7893  axcaucvglemval  7896  frecuzrdgrrn  10408  frec2uzrdg  10409  frecuzrdgrcl  10410  frecuzrdgsuc  10414  frecuzrdgrclt  10415  frecuzrdgg  10416  frecuzrdgsuctlem  10423  seqeq1  10448  iseqvalcbv  10457  seq3val  10458  seqvalcd  10459  eucalgval2  12053  qnumdenbi  12192  crth  12224  phimullem  12225  ennnfonelemg  12404  ennnfonelem1  12408  ressval3d  12531  imasex  12726  imasival  12727  imasaddvallemg  12736  xpsff1o  12768  txcnp  13774  upxp  13775  uptx  13777  txlm  13782  cnmpt1t  13788  cnmpt2t  13796  txhmeo  13822