Theorem opeq12d 3891

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	|- ( ph -> A = B )
opeq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	|- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		opeq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		opeq12 3885	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> <. A , C >. = <. B , D >. )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   <.cop 3692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698

This theorem is referenced by:  nfopd  3900  moop2  4368  fsn2g  5852  funopsn  5860  fliftfuns  5971  elxp6  6363  dfmpo  6419  tfrlemi1  6563  qliftfuns  6853  xpassen  7081  xpdom2  7082  xpf1o  7097  xpmapenlem  7102  xpmapen  7103  mapunen  7104  dfplpq2  7669  dfmpq2  7670  addpipqqs  7685  mulpipq2  7686  mulpipq  7687  mulpipqqs  7688  mulidnq  7704  addnq0mo  7762  mulnq0mo  7763  addnnnq0  7764  mulnnnq0  7765  nqnq0a  7769  nqnq0m  7770  nq0a0  7772  nq02m  7780  genpdf  7823  genipv  7824  genpelxp  7826  addcomprg  7893  mulcomprg  7895  prplnqu  7935  cauappcvgprlemlim  7976  caucvgprprlemell  8000  caucvgprprlemelu  8001  caucvgprprlemcbv  8002  caucvgprprlemval  8003  caucvgprprlemnkeqj  8005  caucvgprprlemml  8009  caucvgprprlemmu  8010  caucvgprprlemopl  8012  caucvgprprlemlol  8013  caucvgprprlemopu  8014  caucvgprprlemloc  8018  caucvgprprlemclphr  8020  caucvgprprlemexbt  8021  caucvgprprlem1  8024  caucvgprprlem2  8025  addsrmo  8058  mulsrmo  8059  addsrpr  8060  mulsrpr  8061  caucvgsr  8117  addcnsr  8149  mulcnsr  8150  mulresr  8153  pitonnlem2  8162  pitonn  8163  recidpipr  8171  axaddcom  8185  ax0id  8193  axcnre  8196  nntopi  8209  axcaucvglemval  8212  frecuzrdgrrn  10770  frec2uzrdg  10771  frecuzrdgrcl  10772  frecuzrdgsuc  10776  frecuzrdgrclt  10777  frecuzrdgg  10778  frecuzrdgsuctlem  10785  seqeq1  10812  iseqvalcbv  10821  seq3val  10822  seqvalcd  10823  pfxsuff1eqwrdeq  11391  swrdpfx  11399  ccatopth  11408  swrdccatin2d  11436  eucalgval2  12750  qnumdenbi  12889  crth  12921  phimullem  12922  ennnfonelemg  13154  ennnfonelem1  13158  ressval3d  13285  imasex  13518  imasival  13519  imasaddvallemg  13528  xpsff1o  13562  txcnp  15136  upxp  15137  uptx  15139  txlm  15144  cnmpt1t  15150  cnmpt2t  15158  txhmeo  15184  pellexlem3  15847  mpodvdsmulf1o  15858