Theorem opeq12d 3868

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	|- ( ph -> A = B )
opeq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	|- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		opeq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		opeq12 3862	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> <. A , C >. = <. B , D >. )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   <.cop 3670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676

This theorem is referenced by:  nfopd  3877  moop2  4342  funopsn  5825  fliftfuns  5934  elxp6  6327  dfmpo  6383  tfrlemi1  6493  qliftfuns  6783  xpassen  7009  xpdom2  7010  xpf1o  7025  xpmapenlem  7030  xpmapen  7031  dfplpq2  7564  dfmpq2  7565  addpipqqs  7580  mulpipq2  7581  mulpipq  7582  mulpipqqs  7583  mulidnq  7599  addnq0mo  7657  mulnq0mo  7658  addnnnq0  7659  mulnnnq0  7660  nqnq0a  7664  nqnq0m  7665  nq0a0  7667  nq02m  7675  genpdf  7718  genipv  7719  genpelxp  7721  addcomprg  7788  mulcomprg  7790  prplnqu  7830  cauappcvgprlemlim  7871  caucvgprprlemell  7895  caucvgprprlemelu  7896  caucvgprprlemcbv  7897  caucvgprprlemval  7898  caucvgprprlemnkeqj  7900  caucvgprprlemml  7904  caucvgprprlemmu  7905  caucvgprprlemopl  7907  caucvgprprlemlol  7908  caucvgprprlemopu  7909  caucvgprprlemloc  7913  caucvgprprlemclphr  7915  caucvgprprlemexbt  7916  caucvgprprlem1  7919  caucvgprprlem2  7920  addsrmo  7953  mulsrmo  7954  addsrpr  7955  mulsrpr  7956  caucvgsr  8012  addcnsr  8044  mulcnsr  8045  mulresr  8048  pitonnlem2  8057  pitonn  8058  recidpipr  8066  axaddcom  8080  ax0id  8088  axcnre  8091  nntopi  8104  axcaucvglemval  8107  frecuzrdgrrn  10660  frec2uzrdg  10661  frecuzrdgrcl  10662  frecuzrdgsuc  10666  frecuzrdgrclt  10667  frecuzrdgg  10668  frecuzrdgsuctlem  10675  seqeq1  10702  iseqvalcbv  10711  seq3val  10712  seqvalcd  10713  pfxsuff1eqwrdeq  11270  swrdpfx  11278  ccatopth  11287  swrdccatin2d  11315  eucalgval2  12615  qnumdenbi  12754  crth  12786  phimullem  12787  ennnfonelemg  13014  ennnfonelem1  13018  ressval3d  13145  imasex  13378  imasival  13379  imasaddvallemg  13388  xpsff1o  13422  txcnp  14985  upxp  14986  uptx  14988  txlm  14993  cnmpt1t  14999  cnmpt2t  15007  txhmeo  15033  mpodvdsmulf1o  15704