ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ismeti Unicode version

Theorem ismeti 13777
Description: Properties that determine a metric. (Contributed by NM, 17-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismeti.0  |-  X  e. 
_V
ismeti.1  |-  D :
( X  X.  X
) --> RR
ismeti.2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
ismeti.3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ismeti  |-  D  e.  ( Met `  X
)
Distinct variable groups:    x, y, z, D    x, X, y, z

Proof of Theorem ismeti
StepHypRef Expression
1 ismeti.1 . 2  |-  D :
( X  X.  X
) --> RR
2 ismeti.2 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3 ismeti.3 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
433expa 1203 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
54ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
62, 5jca 306 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
76rgen2a 2531 . 2  |-  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
8 ismeti.0 . . 3  |-  X  e. 
_V
9 ismet 13775 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
108, 9ax-mp 5 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
111, 7, 10mpbir2an 942 1  |-  D  e.  ( Met `  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737   class class class wbr 4003    X. cxp 4624   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810    + caddc 7813    <_ cle 7991   Metcmet 13372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-met 13380
This theorem is referenced by:  0met  13815  cnmet  13961
  Copyright terms: Public domain W3C validator