Theorem ismeti 13777

Description: Properties that determine a metric. (Contributed by NM, 17-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismeti.0	|- X e. _V
ismeti.1	|- D : ( X X. X ) --> RR
ismeti.2	|- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
ismeti.3	|- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ismeti	|- D e. ( Met ` X )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z

Proof of Theorem ismeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeti.1	. 2 |- D : ( X X. X ) --> RR
2		ismeti.2	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
3		ismeti.3	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
4	3	3expa 1203	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
5	4	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
6	2, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
7	6	rgen2a 2531	. 2 |- A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
8		ismeti.0	. . 3 |- X e. _V
9		ismet 13775	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
11	1, 7, 10	mpbir2an 942	1 |- D e. ( Met ` X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737   class class class wbr 4003   X. cxp 4624   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   + caddc 7813   <_ cle 7991   Metcmet 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-met 13380

This theorem is referenced by:  0met  13815  cnmet  13961