Theorem ismeti 14666

Description: Properties that determine a metric. (Contributed by NM, 17-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismeti.0	|- X e. _V
ismeti.1	|- D : ( X X. X ) --> RR
ismeti.2	|- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
ismeti.3	|- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ismeti	|- D e. ( Met ` X )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z

Proof of Theorem ismeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeti.1	. 2 |- D : ( X X. X ) --> RR
2		ismeti.2	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
3		ismeti.3	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
4	3	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
5	4	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
6	2, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
7	6	rgen2a 2551	. 2 |- A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
8		ismeti.0	. . 3 |- X e. _V
9		ismet 14664	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
11	1, 7, 10	mpbir2an 944	1 |- D e. ( Met ` X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   X. cxp 4662   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   + caddc 7899   <_ cle 8079   Metcmet 14169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-met 14177

This theorem is referenced by:  0met  14704  cnmet  14850