Theorem ismeti 15447

Description: Properties that determine a metric. (Contributed by NM, 17-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismeti.0	|- X e. _V
ismeti.1	|- D : ( X X. X ) --> RR
ismeti.2	|- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
ismeti.3	|- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ismeti	|- D e. ( Met ` X )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z

Proof of Theorem ismeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeti.1	. 2 |- D : ( X X. X ) --> RR
2		ismeti.2	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
3		ismeti.3	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
4	3	3expa 1234	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
5	4	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
6	2, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
7	6	rgen2a 2604	. 2 |- A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
8		ismeti.0	. . 3 |- X e. _V
9		ismet 15445	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
11	1, 7, 10	mpbir2an 955	1 |- D e. ( Met ` X )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   <_ cle 8361   Metcmet 14874

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-met 14882

This theorem is used by:  0met  15485  cnmet  15631