Theorem ismeti 14818

Description: Properties that determine a metric. (Contributed by NM, 17-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismeti.0	|- X e. _V
ismeti.1	|- D : ( X X. X ) --> RR
ismeti.2	|- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
ismeti.3	|- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ismeti	|- D e. ( Met ` X )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z

Proof of Theorem ismeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeti.1	. 2 |- D : ( X X. X ) --> RR
2		ismeti.2	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
3		ismeti.3	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
4	3	3expa 1206	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
5	4	ralrimiva 2579	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
6	2, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
7	6	rgen2a 2560	. 2 |- A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
8		ismeti.0	. . 3 |- X e. _V
9		ismet 14816	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
11	1, 7, 10	mpbir2an 945	1 |- D e. ( Met ` X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   + caddc 7928   <_ cle 8108   Metcmet 14299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-met 14307

This theorem is referenced by:  0met  14856  cnmet  15002