ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isxmetd Unicode version

Theorem isxmetd 12443
Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isxmetd.1  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
isxmetd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
isxmetd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isxmetd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, D    ph, x, y, z   
x, X, y, z

Proof of Theorem isxmetd
StepHypRef Expression
1 isxmetd.1 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 isxmetd.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3 isxmetd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
433exp2 1188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  ( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
54imp32 255 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
65ralrimiv 2481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
72, 6jca 304 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) ) )
87ralrimivva 2491 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) ) )
9 isxmetd.0 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
10 isxmet 12441 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
119, 10syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
121, 8, 11mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   _Vcvv 2660   class class class wbr 3899    X. cxp 4507   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   0cc0 7588   RR*cxr 7767    <_ cle 7769   +ecxad 9525   *Metcxmet 12076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-map 6512  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-xmet 12084
This theorem is referenced by:  isxmet2d  12444  xmetres2  12475  comet  12595  xmetxp  12603
  Copyright terms: Public domain W3C validator