Theorem isxmetd 15070

Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isxmetd.0	|- ( ph -> X e. _V )
isxmetd.1	|- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
isxmetd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
isxmetd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isxmetd	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   ph, x, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem isxmetd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isxmetd.1	. 2 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		isxmetd.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
3		isxmetd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
4	3	3exp2 1251	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X -> ( y e. X -> ( z e. X -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
5	4	imp32 257	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z e. X -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
6	5	ralrimiv 2604	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
7	2, 6	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
8	7	ralrimivva 2614	. 2 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
9		isxmetd.0	. . 3 |- ( ph -> X e. _V )
10		isxmet 15068	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
12	1, 8, 11	mpbir2and 952	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   RR*cxr 8212   <_ cle 8214   +ecxad 10004   *Metcxmet 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-xmet 14557

This theorem is referenced by:  isxmet2d  15071  xmetres2  15102  comet  15222  xmetxp  15230