Theorem isxmetd 14583

Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isxmetd.0	|- ( ph -> X e. _V )
isxmetd.1	|- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
isxmetd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
isxmetd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isxmetd	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   ph, x, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem isxmetd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isxmetd.1	. 2 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		isxmetd.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
3		isxmetd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
4	3	3exp2 1227	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X -> ( y e. X -> ( z e. X -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
5	4	imp32 257	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z e. X -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
6	5	ralrimiv 2569	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
7	2, 6	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
8	7	ralrimivva 2579	. 2 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
9		isxmetd.0	. . 3 |- ( ph -> X e. _V )
10		isxmet 14581	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
12	1, 8, 11	mpbir2and 946	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7879   RR*cxr 8060   <_ cle 8062   +ecxad 9845   *Metcxmet 14092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-xmet 14100

This theorem is referenced by:  isxmet2d  14584  xmetres2  14615  comet  14735  xmetxp  14743