Theorem isxmetd 13226

Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isxmetd.0	|- ( ph -> X e. _V )
isxmetd.1	|- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
isxmetd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
isxmetd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isxmetd	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   ph, x, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem isxmetd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isxmetd.1	. 2 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		isxmetd.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
3		isxmetd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
4	3	3exp2 1221	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X -> ( y e. X -> ( z e. X -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
5	4	imp32 255	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z e. X -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
6	5	ralrimiv 2543	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
7	2, 6	jca 304	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
8	7	ralrimivva 2553	. 2 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
9		isxmetd.0	. . 3 |- ( ph -> X e. _V )
10		isxmet 13224	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
12	1, 8, 11	mpbir2and 940	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 974   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   _Vcvv 2731   class class class wbr 3990   X. cxp 4610   -->wf 5196   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   0cc0 7778   RR*cxr 7957   <_ cle 7959   +ecxad 9731   *Metcxmet 12859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-map 6632  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-xmet 12867

This theorem is referenced by:  isxmet2d  13227  xmetres2  13258  comet  13378  xmetxp  13386